Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74403 / 60003
↖ ↑ ↗
← N 15.021728°
E 24.353943°		 ← 294.99 m → N 15.021728°
E 24.356690°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 15.019075°
E 24.353943°		 ← 294.99 m →
87 015 m²		 N 15.019075°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567653656005859 y=0.457790374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567653656005859 × 217)
    floor (0.567653656005859 × 131072)
    floor (74403.5)     		tx = 74403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457790374755859 × 217)
    floor (0.457790374755859 × 131072)
    floor (60003.5)     		ty = 60003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74403 / 60003 ti = "17/74403/60003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74403/60003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74403 ÷ 217
    74403 ÷ 131072     		x = 0.567649841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60003 ÷ 217
    60003 ÷ 131072     		y = 0.457786560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567649841308594 × 2 - 1) × π
    0.135299682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42505649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457786560058594 × 2 - 1) × π
    0.0844268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.265234865597771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42505649} λ = 0.42505649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265234865597771))-π/2
    2×atan(1.30373714282629)-π/2
    2×0.916487467512684-π/2
    1.83297493502537-1.57079632675     		φ = 0.26217861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42505649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.353943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26217861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.021728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74403 KachelY 60003 0.42505649 0.26217861 24.353943 15.021728
    Oben rechts KachelX + 1 74404 KachelY 60003 0.42510443 0.26217861 24.356690 15.021728
    Unten links KachelX 74403 KachelY + 1 60004 0.42505649 0.26213231 24.353943 15.019075
    Unten rechts KachelX + 1 74404 KachelY + 1 60004 0.42510443 0.26213231 24.356690 15.019075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26217861-0.26213231) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26217861-0.26213231) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42505649-0.42510443) × cos(0.26217861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965827606908872 × 6371000     		do = 294.988611552378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42505649-0.42510443) × cos(0.26213231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96583960615429 × 6371000     		du = 294.992276430789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26217861)-sin(0.26213231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965827606908872-0.96583960615429)×R²
    abs(0.42510443-0.42505649)×1.19992454182816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19992454182816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19992454182816e-05×40589641000000     		ar = 87015.4847099456m²