Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74403 / 53705
↖ ↑ ↗
← N 30.881012°
E 24.353943°		 ← 262.13 m → N 30.881012°
E 24.356690°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
N 30.878655°
E 24.353943°		 ← 262.13 m →
68 705 m²		 N 30.878655°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567653656005859 y=0.409740447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567653656005859 × 217)
    floor (0.567653656005859 × 131072)
    floor (74403.5)     		tx = 74403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409740447998047 × 217)
    floor (0.409740447998047 × 131072)
    floor (53705.5)     		ty = 53705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74403 / 53705 ti = "17/74403/53705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74403/53705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74403 ÷ 217
    74403 ÷ 131072     		x = 0.567649841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53705 ÷ 217
    53705 ÷ 131072     		y = 0.409736633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567649841308594 × 2 - 1) × π
    0.135299682617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42505649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409736633300781 × 2 - 1) × π
    0.180526733398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.567141459404884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42505649} λ = 0.42505649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567141459404884))-π/2
    2×atan(1.7632196058852)-π/2
    2×1.05488583246638-π/2
    2.10977166493277-1.57079632675     		φ = 0.53897534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42505649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.353943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53897534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.881012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74403 KachelY 53705 0.42505649 0.53897534 24.353943 30.881012
    Oben rechts KachelX + 1 74404 KachelY 53705 0.42510443 0.53897534 24.356690 30.881012
    Unten links KachelX 74403 KachelY + 1 53706 0.42505649 0.53893420 24.353943 30.878655
    Unten rechts KachelX + 1 74404 KachelY + 1 53706 0.42510443 0.53893420 24.356690 30.878655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53897534-0.53893420) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53897534-0.53893420) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42505649-0.42510443) × cos(0.53897534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858235045590655 × 6371000     		do = 262.127073893288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42505649-0.42510443) × cos(0.53893420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858256160251676 × 6371000     		du = 262.133522854255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53897534)-sin(0.53893420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858235045590655-0.858256160251676)×R²
    abs(0.42510443-0.42505649)×2.11146610207269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11146610207269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11146610207269e-05×40589641000000     		ar = 68705.1218764846m²