Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74402 / 76734
↖ ↑ ↗
← S 29.377388°
E 24.351196°		 ← 266.15 m → S 29.377388°
E 24.353943°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.379782°
E 24.351196°		 ← 266.14 m →
70 843 m²		 S 29.379782°
E 24.353943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567646026611328 y=0.585437774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567646026611328 × 217)
    floor (0.567646026611328 × 131072)
    floor (74402.5)     		tx = 74402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585437774658203 × 217)
    floor (0.585437774658203 × 131072)
    floor (76734.5)     		ty = 76734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74402 / 76734 ti = "17/74402/76734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74402/76734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74402 ÷ 217
    74402 ÷ 131072     		x = 0.567642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76734 ÷ 217
    76734 ÷ 131072     		y = 0.585433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567642211914062 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42500855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585433959960938 × 2 - 1) × π
    -0.170867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536797401945389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42500855} λ = 0.42500855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536797401945389))-π/2
    2×atan(0.584617552504124)-π/2
    2×0.529032086765179-π/2
    1.05806417353036-1.57079632675     		φ = -0.51273215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42500855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51273215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.377388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74402 KachelY 76734 0.42500855 -0.51273215 24.351196 -29.377388
    Oben rechts KachelX + 1 74403 KachelY 76734 0.42505649 -0.51273215 24.353943 -29.377388
    Unten links KachelX 74402 KachelY + 1 76735 0.42500855 -0.51277393 24.351196 -29.379782
    Unten rechts KachelX + 1 74403 KachelY + 1 76735 0.42505649 -0.51277393 24.353943 -29.379782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51273215--0.51277393) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51273215--0.51277393) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42500855-0.42505649) × cos(-0.51273215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		do = 266.150273956025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42500855-0.42505649) × cos(-0.51277393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87138698212592 × 6371000     		du = 266.144013842309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51273215)-sin(-0.51277393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871407478478701-0.87138698212592)×R²
    abs(0.42505649-0.42500855)×2.04963527818958e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04963527818958e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04963527818958e-05×40589641000000     		ar = 70843.1479092829m²