Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74401 / 60823
↖ ↑ ↗
← N 12.835904°
E 24.348450°		 ← 297.73 m → N 12.835904°
E 24.351196°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.833226°
E 24.348450°		 ← 297.73 m →
88 659 m²		 N 12.833226°
E 24.351196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567638397216797 y=0.464046478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567638397216797 × 217)
    floor (0.567638397216797 × 131072)
    floor (74401.5)     		tx = 74401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464046478271484 × 217)
    floor (0.464046478271484 × 131072)
    floor (60823.5)     		ty = 60823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74401 / 60823 ti = "17/74401/60823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74401/60823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74401 ÷ 217
    74401 ÷ 131072     		x = 0.567634582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60823 ÷ 217
    60823 ÷ 131072     		y = 0.464042663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567634582519531 × 2 - 1) × π
    0.135269165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42496062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464042663574219 × 2 - 1) × π
    0.0719146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.225926607909325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42496062} λ = 0.42496062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225926607909325))-π/2
    2×atan(1.25348366611534)-π/2
    2×0.897412556886449-π/2
    1.7948251137729-1.57079632675     		φ = 0.22402879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42496062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.348450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22402879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.835904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74401 KachelY 60823 0.42496062 0.22402879 24.348450 12.835904
    Oben rechts KachelX + 1 74402 KachelY 60823 0.42500855 0.22402879 24.351196 12.835904
    Unten links KachelX 74401 KachelY + 1 60824 0.42496062 0.22398205 24.348450 12.833226
    Unten rechts KachelX + 1 74402 KachelY + 1 60824 0.42500855 0.22398205 24.351196 12.833226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22402879-0.22398205) × R
    4.67400000000173e-05 × 6371000     		dl = 297.78054000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22402879-0.22398205) × R
    4.67400000000173e-05 × 6371000     		dr = 297.78054000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42496062-0.42500855) × cos(0.22402879) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.975010330428164 × 6371000     		do = 297.731133770352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42496062-0.42500855) × cos(0.22398205) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.975020713099448 × 6371000     		du = 297.734304243932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22402879)-sin(0.22398205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975010330428164-0.975020713099448)×R²
    abs(0.42500855-0.42496062)×1.03826712838373e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.03826712838373e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.03826712838373e-05×40589641000000     		ar = 88659.0098578016m²