Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74400 / 76727
↖ ↑ ↗
← S 29.360633°
E 24.345703°		 ← 266.19 m → S 29.360633°
E 24.348450°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.363027°
E 24.345703°		 ← 266.19 m →
70 855 m²		 S 29.363027°
E 24.348450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567630767822266 y=0.585384368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567630767822266 × 217)
    floor (0.567630767822266 × 131072)
    floor (74400.5)     		tx = 74400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585384368896484 × 217)
    floor (0.585384368896484 × 131072)
    floor (76727.5)     		ty = 76727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74400 / 76727 ti = "17/74400/76727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74400/76727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74400 ÷ 217
    74400 ÷ 131072     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76727 ÷ 217
    76727 ÷ 131072     		y = 0.585380554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585380554199219 × 2 - 1) × π
    -0.170761108398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.536461843648048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536461843648048))-π/2
    2×atan(0.584813758692104)-π/2
    2×0.529178302801797-π/2
    1.05835660560359-1.57079632675     		φ = -0.51243972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51243972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.360633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74400 KachelY 76727 0.42491268 -0.51243972 24.345703 -29.360633
    Oben rechts KachelX + 1 74401 KachelY 76727 0.42496062 -0.51243972 24.348450 -29.360633
    Unten links KachelX 74400 KachelY + 1 76728 0.42491268 -0.51248150 24.345703 -29.363027
    Unten rechts KachelX + 1 74401 KachelY + 1 76728 0.42496062 -0.51248150 24.348450 -29.363027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51243972--0.51248150) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51243972--0.51248150) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42496062) × cos(-0.51243972) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871550895646183 × 6371000     		do = 266.194077250532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42496062) × cos(-0.51248150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871530409940769 × 6371000     		du = 266.187820388796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51243972)-sin(-0.51248150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871550895646183-0.871530409940769)×R²
    abs(0.42496062-0.42491268)×2.04857054135754e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04857054135754e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04857054135754e-05×40589641000000     		ar = 70854.8079196791m²