Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74400 / 53707
↖ ↑ ↗
← N 30.876297°
E 24.345703°		 ← 262.14 m → N 30.876297°
E 24.348450°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
N 30.873940°
E 24.345703°		 ← 262.15 m →
68 709 m²		 N 30.873940°
E 24.348450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567630767822266 y=0.409755706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567630767822266 × 217)
    floor (0.567630767822266 × 131072)
    floor (74400.5)     		tx = 74400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409755706787109 × 217)
    floor (0.409755706787109 × 131072)
    floor (53707.5)     		ty = 53707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74400 / 53707 ti = "17/74400/53707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74400/53707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74400 ÷ 217
    74400 ÷ 131072     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53707 ÷ 217
    53707 ÷ 131072     		y = 0.409751892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409751892089844 × 2 - 1) × π
    0.180496215820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.567045585605644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567045585605644))-π/2
    2×atan(1.763050567426)-π/2
    2×1.0548446903269-π/2
    2.10968938065381-1.57079632675     		φ = 0.53889305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53889305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.876297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74400 KachelY 53707 0.42491268 0.53889305 24.345703 30.876297
    Oben rechts KachelX + 1 74401 KachelY 53707 0.42496062 0.53889305 24.348450 30.876297
    Unten links KachelX 74400 KachelY + 1 53708 0.42491268 0.53885191 24.345703 30.873940
    Unten rechts KachelX + 1 74401 KachelY + 1 53708 0.42496062 0.53885191 24.348450 30.873940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53889305-0.53885191) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53889305-0.53885191) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42496062) × cos(0.53889305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85827727859196 × 6371000     		do = 262.139972939267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42496062) × cos(0.53885191) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858298390347396 × 6371000     		du = 262.146421012794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53889305)-sin(0.53885191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85827727859196-0.858298390347396)×R²
    abs(0.42496062-0.42491268)×2.111175543551e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.111175543551e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.111175543551e-05×40589641000000     		ar = 68708.5026380198m²