Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74400 / 53706
↖ ↑ ↗
← N 30.878655°
E 24.345703°		 ← 262.13 m → N 30.878655°
E 24.348450°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
N 30.876297°
E 24.345703°		 ← 262.14 m →
68 724 m²		 N 30.876297°
E 24.348450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567630767822266 y=0.409748077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567630767822266 × 217)
    floor (0.567630767822266 × 131072)
    floor (74400.5)     		tx = 74400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409748077392578 × 217)
    floor (0.409748077392578 × 131072)
    floor (53706.5)     		ty = 53706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74400 / 53706 ti = "17/74400/53706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74400/53706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74400 ÷ 217
    74400 ÷ 131072     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53706 ÷ 217
    53706 ÷ 131072     		y = 0.409744262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409744262695312 × 2 - 1) × π
    0.180511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.567093522505264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567093522505264))-π/2
    2×atan(1.76313508462981)-π/2
    2×1.05486526164969-π/2
    2.10973052329938-1.57079632675     		φ = 0.53893420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53893420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.878655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74400 KachelY 53706 0.42491268 0.53893420 24.345703 30.878655
    Oben rechts KachelX + 1 74401 KachelY 53706 0.42496062 0.53893420 24.348450 30.878655
    Unten links KachelX 74400 KachelY + 1 53707 0.42491268 0.53889305 24.345703 30.876297
    Unten rechts KachelX + 1 74401 KachelY + 1 53707 0.42496062 0.53889305 24.348450 30.876297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53893420-0.53889305) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dl = 262.166650000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53893420-0.53889305) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dr = 262.166650000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42496062) × cos(0.53893420) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858256160251676 × 6371000     		do = 262.133522854558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42496062) × cos(0.53889305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85827727859196 × 6371000     		du = 262.139972939267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53893420)-sin(0.53889305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858256160251676-0.85827727859196)×R²
    abs(0.42496062-0.42491268)×2.11183402848425e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11183402848425e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11183402848425e-05×40589641000000     		ar = 68723.5130478178m²