Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7440 / 7408
↖ ↑ ↗
← S 80.983688°
E146.953125°		 ← 765.79 m → S 80.983688°
E146.997070°		 →
↑
765.54 m
↓
↑
765.54 m
↓
S 80.990573°
E146.953125°		 ← 765.21 m →
586 020 m²		 S 80.990573°
E146.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90826416015625 y=0.90435791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90826416015625 × 213)
    floor (0.90826416015625 × 8192)
    floor (7440.5)     		tx = 7440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90435791015625 × 213)
    floor (0.90435791015625 × 8192)
    floor (7408.5)     		ty = 7408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7440 / 7408 ti = "13/7440/7408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7440/7408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7440 ÷ 213
    7440 ÷ 8192     		x = 0.908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7408 ÷ 213
    7408 ÷ 8192     		y = 0.904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908203125 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56481588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904296875 × 2 - 1) × π
    -0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56481588} λ = 2.56481588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54027218466602))-π/2
    2×atan(0.0788449364871116)-π/2
    2×0.0786821627091556-π/2
    0.157364325418311-1.57079632675     		φ = -1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56481588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7440 KachelY 7408 2.56481588 -1.41343200 146.953125 -80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 7441 KachelY 7408 2.56558287 -1.41343200 146.997070 -80.983688
    Unten links KachelX 7440 KachelY + 1 7409 2.56481588 -1.41355216 146.953125 -80.990573
    Unten rechts KachelX + 1 7441 KachelY + 1 7409 2.56558287 -1.41355216 146.997070 -80.990573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41343200--1.41355216) × R
    0.000120160000000036 × 6371000     		dl = 765.539360000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41343200--1.41355216) × R
    0.000120160000000036 × 6371000     		dr = 765.539360000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56481588-2.56558287) × cos(-1.41343200) × R
    0.000766990000000245 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 765.78996119448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56481588-2.56558287) × cos(-1.41355216) × R
    0.000766990000000245 × 0.156596971349459 × 6371000     		du = 765.2100497337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41343200)-sin(-1.41355216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.156596971349459)×R²
    abs(2.56558287-2.56481588)×0.000118676405832102×R²
    0.000766990000000245×0.000118676405832102×6371000²
    0.000766990000000245×0.000118676405832102×40589641000000     		ar = 586020.384967308m²