Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7440 / 5490
↖ ↑ ↗
← N 75.882733°
W 98.261719°		 ← 297.97 m → N 75.882733°
W 98.250732°		 →
↑
298.04 m
↓
↑
298.04 m
↓
N 75.880052°
W 98.261719°		 ← 298.02 m →
88 813 m²		 N 75.880052°
W 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227066040039062 y=0.167556762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227066040039062 × 215)
    floor (0.227066040039062 × 32768)
    floor (7440.5)     		tx = 7440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167556762695312 × 215)
    floor (0.167556762695312 × 32768)
    floor (5490.5)     		ty = 5490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7440 / 5490 ti = "15/7440/5490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7440/5490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7440 ÷ 215
    7440 ÷ 32768     		x = 0.22705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5490 ÷ 215
    5490 ÷ 32768     		y = 0.16754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22705078125 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71499052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16754150390625 × 2 - 1) × π
    0.6649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.08889833784357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71499052} λ = -1.71499052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08889833784357))-π/2
    2×atan(8.0760132235965)-π/2
    2×1.44759992673384-π/2
    2.89519985346769-1.57079632675     		φ = 1.32440353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71499052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32440353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.882733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7440 KachelY 5490 -1.71499052 1.32440353 -98.261719 75.882733
    Oben rechts KachelX + 1 7441 KachelY 5490 -1.71479877 1.32440353 -98.250732 75.882733
    Unten links KachelX 7440 KachelY + 1 5491 -1.71499052 1.32435675 -98.261719 75.880052
    Unten rechts KachelX + 1 7441 KachelY + 1 5491 -1.71479877 1.32435675 -98.250732 75.880052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32440353-1.32435675) × R
    4.6780000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.03538000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32440353-1.32435675) × R
    4.6780000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.03538000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71499052--1.71479877) × cos(1.32440353) × R
    0.000191749999999935 × 0.243907293243144 × 6371000     		do = 297.966722786983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71499052--1.71479877) × cos(1.32435675) × R
    0.000191749999999935 × 0.243952660152531 × 6371000     		du = 298.022144784141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32440353)-sin(1.32435675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243907293243144-0.243952660152531)×R²
    abs(-1.71479877--1.71499052)×4.53669093869458e-05×R²
    0.000191749999999935×4.53669093869458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.53669093869458e-05×40589641000000     		ar = 88812.8843274347m²