Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7440 / 5488
↖ ↑ ↗
← N 75.888091°
W 98.261719°		 ← 297.86 m → N 75.888091°
W 98.250732°		 →
↑
297.91 m
↓
↑
297.91 m
↓
N 75.885412°
W 98.261719°		 ← 297.91 m →
88 742 m²		 N 75.885412°
W 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227066040039062 y=0.167495727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227066040039062 × 215)
    floor (0.227066040039062 × 32768)
    floor (7440.5)     		tx = 7440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167495727539062 × 215)
    floor (0.167495727539062 × 32768)
    floor (5488.5)     		ty = 5488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7440 / 5488 ti = "15/7440/5488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7440/5488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7440 ÷ 215
    7440 ÷ 32768     		x = 0.22705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5488 ÷ 215
    5488 ÷ 32768     		y = 0.16748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22705078125 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71499052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16748046875 × 2 - 1) × π
    0.6650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08928183304053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71499052} λ = -1.71499052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08928183304053))-π/2
    2×atan(8.0791109298181)-π/2
    2×1.44764668667627-π/2
    2.89529337335254-1.57079632675     		φ = 1.32449705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71499052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32449705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.888091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7440 KachelY 5488 -1.71499052 1.32449705 -98.261719 75.888091
    Oben rechts KachelX + 1 7441 KachelY 5488 -1.71479877 1.32449705 -98.250732 75.888091
    Unten links KachelX 7440 KachelY + 1 5489 -1.71499052 1.32445029 -98.261719 75.885412
    Unten rechts KachelX + 1 7441 KachelY + 1 5489 -1.71479877 1.32445029 -98.250732 75.885412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32449705-1.32445029) × R
    4.67600000000346e-05 × 6371000     		dl = 297.90796000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32449705-1.32445029) × R
    4.67600000000346e-05 × 6371000     		dr = 297.90796000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71499052--1.71479877) × cos(1.32449705) × R
    0.000191749999999935 × 0.243816596616047 × 6371000     		do = 297.855924227479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71499052--1.71479877) × cos(1.32445029) × R
    0.000191749999999935 × 0.243861945196197 × 6371000     		du = 297.911323832923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32449705)-sin(1.32445029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243816596616047-0.243861945196197)×R²
    abs(-1.71479877--1.71499052)×4.5348580150234e-05×R²
    0.000191749999999935×4.5348580150234e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.5348580150234e-05×40589641000000     		ar = 88741.9027688692m²