Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7440 / 3409
↖ ↑ ↗
← N 71.849385°
W 16.523438°		 ← 761.12 m → N 71.849385°
W 16.501465°		 →
↑
761.27 m
↓
↑
761.27 m
↓
N 71.842539°
W 16.523438°		 ← 761.40 m →
579 524 m²		 N 71.842539°
W 16.501465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454132080078125 y=0.208099365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454132080078125 × 214)
    floor (0.454132080078125 × 16384)
    floor (7440.5)     		tx = 7440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208099365234375 × 214)
    floor (0.208099365234375 × 16384)
    floor (3409.5)     		ty = 3409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7440 / 3409 ti = "14/7440/3409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7440/3409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7440 ÷ 214
    7440 ÷ 16384     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3409 ÷ 214
    3409 ÷ 16384     		y = 0.20806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20806884765625 × 2 - 1) × π
    0.5838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83425752706183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83425752706183))-π/2
    2×atan(6.26048417932933)-π/2
    2×1.41240233285676-π/2
    2.82480466571351-1.57079632675     		φ = 1.25400834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25400834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.849385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7440 KachelY 3409 -0.28838839 1.25400834 -16.523438 71.849385
    Oben rechts KachelX + 1 7441 KachelY 3409 -0.28800489 1.25400834 -16.501465 71.849385
    Unten links KachelX 7440 KachelY + 1 3410 -0.28838839 1.25388885 -16.523438 71.842539
    Unten rechts KachelX + 1 7441 KachelY + 1 3410 -0.28800489 1.25388885 -16.501465 71.842539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25400834-1.25388885) × R
    0.000119489999999889 × 6371000     		dl = 761.270789999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25400834-1.25388885) × R
    0.000119489999999889 × 6371000     		dr = 761.270789999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28800489) × cos(1.25400834) × R
    0.000383499999999981 × 0.311515986466436 × 6371000     		do = 761.120312139696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28800489) × cos(1.25388885) × R
    0.000383499999999981 × 0.311629528528808 × 6371000     		du = 761.397727019536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25400834)-sin(1.25388885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311515986466436-0.311629528528808)×R²
    abs(-0.28800489--0.28838839)×0.000113542062372074×R²
    0.000383499999999981×0.000113542062372074×6371000²
    0.000383499999999981×0.000113542062372074×40589641000000     		ar = 579524.255917879m²