Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 744 / 859
↖ ↑ ↗
← N 27.839076°
W 49.218750°		 ← 17.284 km → N 27.839076°
W 49.042969°		 →
↑
17.296 km
↓
↑
17.296 km
↓
N 27.683528°
W 49.218750°		 ← 17.308 km →
299.157 km²		 N 27.683528°
W 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363525390625 y=0.419677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363525390625 × 211)
    floor (0.363525390625 × 2048)
    floor (744.5)     		tx = 744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419677734375 × 211)
    floor (0.419677734375 × 2048)
    floor (859.5)     		ty = 859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 744 / 859 ti = "11/744/859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/744/859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 744 ÷ 211
    744 ÷ 2048     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 859 ÷ 211
    859 ÷ 2048     		y = 0.41943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506213659987793))-π/2
    2×atan(1.65899775832668)-π/2
    2×1.02833993267461-π/2
    2.05667986534922-1.57079632675     		φ = 0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 744 KachelY 859 -0.85902924 0.48588354 -49.218750 27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 745 KachelY 859 -0.85596128 0.48588354 -49.042969 27.839076
    Unten links KachelX 744 KachelY + 1 860 -0.85902924 0.48316871 -49.218750 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 745 KachelY + 1 860 -0.85596128 0.48316871 -49.042969 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48588354-0.48316871) × R
    0.00271483 × 6371000     		dl = 17296.18193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48588354-0.48316871) × R
    0.00271483 × 6371000     		dr = 17296.18193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.85596128) × cos(0.48588354) × R
    0.00306795999999998 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 17283.7748074868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.85596128) × cos(0.48316871) × R
    0.00306795999999998 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 17308.4914290834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48588354)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.885527227905161)×R²
    abs(-0.85596128--0.85902924)×0.00126453778454771×R²
    0.00306795999999998×0.00126453778454771×6371000²
    0.00306795999999998×0.00126453778454771×40589641000000     		ar = 299157248.839315m²