Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74399 / 53308
↖ ↑ ↗
← N 31.812229°
E 24.342956°		 ← 259.54 m → N 31.812229°
E 24.345703°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 31.809895°
E 24.342956°		 ← 259.55 m →
67 367 m²		 N 31.809895°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567623138427734 y=0.406711578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567623138427734 × 217)
    floor (0.567623138427734 × 131072)
    floor (74399.5)     		tx = 74399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406711578369141 × 217)
    floor (0.406711578369141 × 131072)
    floor (53308.5)     		ty = 53308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74399 / 53308 ti = "17/74399/53308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74399/53308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74399 ÷ 217
    74399 ÷ 131072     		x = 0.567619323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53308 ÷ 217
    53308 ÷ 131072     		y = 0.406707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567619323730469 × 2 - 1) × π
    0.135238647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42486474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406707763671875 × 2 - 1) × π
    0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42486474} λ = 0.42486474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586172408554047))-π/2
    2×atan(1.79709668255324)-π/2
    2×1.06301223281212-π/2
    2.12602446562424-1.57079632675     		φ = 0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42486474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.342956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74399 KachelY 53308 0.42486474 0.55522814 24.342956 31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 74400 KachelY 53308 0.42491268 0.55522814 24.345703 31.812229
    Unten links KachelX 74399 KachelY + 1 53309 0.42486474 0.55518740 24.342956 31.809895
    Unten rechts KachelX + 1 74400 KachelY + 1 53309 0.42491268 0.55518740 24.345703 31.809895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55522814-0.55518740) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55522814-0.55518740) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42486474-0.42491268) × cos(0.55522814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 259.544746821863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42486474-0.42491268) × cos(0.55518740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849801676172227 × 6371000     		du = 259.551305797972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55522814)-sin(0.55518740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849801676172227)×R²
    abs(0.42491268-0.42486474)×2.14748636100381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14748636100381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14748636100381e-05×40589641000000     		ar = 67366.868586108m²