Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74398 / 55134
↖ ↑ ↗
← N 27.454665°
E 24.340210°		 ← 271.03 m → N 27.454665°
E 24.342956°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 27.452228°
E 24.340210°		 ← 271.03 m →
73 455 m²		 N 27.452228°
E 24.342956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567615509033203 y=0.420642852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567615509033203 × 217)
    floor (0.567615509033203 × 131072)
    floor (74398.5)     		tx = 74398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420642852783203 × 217)
    floor (0.420642852783203 × 131072)
    floor (55134.5)     		ty = 55134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74398 / 55134 ti = "17/74398/55134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74398/55134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74398 ÷ 217
    74398 ÷ 131072     		x = 0.567611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55134 ÷ 217
    55134 ÷ 131072     		y = 0.420639038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567611694335938 × 2 - 1) × π
    0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420639038085938 × 2 - 1) × π
    0.158721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.498639629847824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42481680} λ = 0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498639629847824))-π/2
    2×atan(1.64647992437019)-π/2
    2×1.02498531249968-π/2
    2.04997062499935-1.57079632675     		φ = 0.47917430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47917430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.454665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74398 KachelY 55134 0.42481680 0.47917430 24.340210 27.454665
    Oben rechts KachelX + 1 74399 KachelY 55134 0.42486474 0.47917430 24.342956 27.454665
    Unten links KachelX 74398 KachelY + 1 55135 0.42481680 0.47913176 24.340210 27.452228
    Unten rechts KachelX + 1 74399 KachelY + 1 55135 0.42486474 0.47913176 24.342956 27.452228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47917430-0.47913176) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dl = 271.022339999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47917430-0.47913176) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dr = 271.022339999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42481680-0.42486474) × cos(0.47917430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887375911433303 × 6371000     		do = 271.027444407827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42481680-0.42486474) × cos(0.47913176) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887395523553868 × 6371000     		du = 271.033434454264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47917430)-sin(0.47913176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887375911433303-0.887395523553868)×R²
    abs(0.42486474-0.42481680)×1.96121205647826e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96121205647826e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96121205647826e-05×40589641000000     		ar = 73455.303916813m²