Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74398 / 54135
↖ ↑ ↗
← N 29.862084°
E 24.340210°		 ← 264.87 m → N 29.862084°
E 24.342956°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 29.859701°
E 24.340210°		 ← 264.88 m →
70 167 m²		 N 29.859701°
E 24.342956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567615509033203 y=0.413021087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567615509033203 × 217)
    floor (0.567615509033203 × 131072)
    floor (74398.5)     		tx = 74398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413021087646484 × 217)
    floor (0.413021087646484 × 131072)
    floor (54135.5)     		ty = 54135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74398 / 54135 ti = "17/74398/54135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74398/54135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74398 ÷ 217
    74398 ÷ 131072     		x = 0.567611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54135 ÷ 217
    54135 ÷ 131072     		y = 0.413017272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567611694335938 × 2 - 1) × π
    0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413017272949219 × 2 - 1) × π
    0.173965454101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.54652859256826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42481680} λ = 0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54652859256826))-π/2
    2×atan(1.72724662181579)-π/2
    2×1.04599400162602-π/2
    2.09198800325204-1.57079632675     		φ = 0.52119168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52119168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.862084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74398 KachelY 54135 0.42481680 0.52119168 24.340210 29.862084
    Oben rechts KachelX + 1 74399 KachelY 54135 0.42486474 0.52119168 24.342956 29.862084
    Unten links KachelX 74398 KachelY + 1 54136 0.42481680 0.52115010 24.340210 29.859701
    Unten rechts KachelX + 1 74399 KachelY + 1 54136 0.42486474 0.52115010 24.342956 29.859701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52119168-0.52115010) × R
    4.15800000000965e-05 × 6371000     		dl = 264.906180000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52119168-0.52115010) × R
    4.15800000000965e-05 × 6371000     		dr = 264.906180000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42481680-0.42486474) × cos(0.52119168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867226441499664 × 6371000     		do = 264.873277642735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42481680-0.42486474) × cos(0.52115010) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867247144011925 × 6371000     		du = 264.879600722862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52119168)-sin(0.52115010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867226441499664-0.867247144011925)×R²
    abs(0.42486474-0.42481680)×2.07025122608284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07025122608284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07025122608284e-05×40589641000000     		ar = 70167.4056862177m²