Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74398 / 53910
↖ ↑ ↗
← N 30.396568°
E 24.340210°		 ← 263.44 m → N 30.396568°
E 24.342956°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
N 30.394199°
E 24.340210°		 ← 263.45 m →
69 403 m²		 N 30.394199°
E 24.342956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567615509033203 y=0.411304473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567615509033203 × 217)
    floor (0.567615509033203 × 131072)
    floor (74398.5)     		tx = 74398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411304473876953 × 217)
    floor (0.411304473876953 × 131072)
    floor (53910.5)     		ty = 53910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74398 / 53910 ti = "17/74398/53910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74398/53910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74398 ÷ 217
    74398 ÷ 131072     		x = 0.567611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53910 ÷ 217
    53910 ÷ 131072     		y = 0.411300659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567611694335938 × 2 - 1) × π
    0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411300659179688 × 2 - 1) × π
    0.177398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.557314394982773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42481680} λ = 0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557314394982773))-π/2
    2×atan(1.74597719313808)-π/2
    2×1.05065826454366-π/2
    2.10131652908731-1.57079632675     		φ = 0.53052020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53052020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.396568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74398 KachelY 53910 0.42481680 0.53052020 24.340210 30.396568
    Oben rechts KachelX + 1 74399 KachelY 53910 0.42486474 0.53052020 24.342956 30.396568
    Unten links KachelX 74398 KachelY + 1 53911 0.42481680 0.53047885 24.340210 30.394199
    Unten rechts KachelX + 1 74399 KachelY + 1 53911 0.42486474 0.53047885 24.342956 30.394199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53052020-0.53047885) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53052020-0.53047885) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42481680-0.42486474) × cos(0.53052020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862543975341264 × 6371000     		do = 263.44313195128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42481680-0.42486474) × cos(0.53047885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862564896963903 × 6371000     		du = 263.449521953356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53052020)-sin(0.53047885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862543975341264-0.862564896963903)×R²
    abs(0.42486474-0.42481680)×2.09216226381148e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09216226381148e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09216226381148e-05×40589641000000     		ar = 69402.5243116253m²