Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74397 / 55677
↖ ↑ ↗
← N 26.123384°
E 24.337464°		 ← 274.17 m → N 26.123384°
E 24.340210°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 26.120918°
E 24.337464°		 ← 274.17 m →
75 180 m²		 N 26.120918°
E 24.340210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567607879638672 y=0.424785614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567607879638672 × 217)
    floor (0.567607879638672 × 131072)
    floor (74397.5)     		tx = 74397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424785614013672 × 217)
    floor (0.424785614013672 × 131072)
    floor (55677.5)     		ty = 55677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74397 / 55677 ti = "17/74397/55677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74397/55677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74397 ÷ 217
    74397 ÷ 131072     		x = 0.567604064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55677 ÷ 217
    55677 ÷ 131072     		y = 0.424781799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567604064941406 × 2 - 1) × π
    0.135208129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42476887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424781799316406 × 2 - 1) × π
    0.150436401367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.472609893354134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42476887} λ = 0.42476887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472609893354134))-π/2
    2×atan(1.60417546138749)-π/2
    2×1.01336769640647-π/2
    2.02673539281293-1.57079632675     		φ = 0.45593907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42476887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.337464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45593907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.123384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74397 KachelY 55677 0.42476887 0.45593907 24.337464 26.123384
    Oben rechts KachelX + 1 74398 KachelY 55677 0.42481680 0.45593907 24.340210 26.123384
    Unten links KachelX 74397 KachelY + 1 55678 0.42476887 0.45589603 24.337464 26.120918
    Unten rechts KachelX + 1 74398 KachelY + 1 55678 0.42481680 0.45589603 24.340210 26.120918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45593907-0.45589603) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45593907-0.45589603) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42476887-0.42481680) × cos(0.45593907) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.897847946297368 × 6371000     		do = 274.168671512546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42476887-0.42481680) × cos(0.45589603) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.897866896220929 × 6371000     		du = 274.174458099672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45593907)-sin(0.45589603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897847946297368-0.897866896220929)×R²
    abs(0.42481680-0.42476887)×1.89499235602186e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89499235602186e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89499235602186e-05×40589641000000     		ar = 75179.9925864856m²