Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74397 / 54123
↖ ↑ ↗
← N 29.890662°
E 24.337464°		 ← 264.74 m → N 29.890662°
E 24.340210°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
N 29.888281°
E 24.337464°		 ← 264.75 m →
70 099 m²		 N 29.888281°
E 24.340210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567607879638672 y=0.412929534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567607879638672 × 217)
    floor (0.567607879638672 × 131072)
    floor (74397.5)     		tx = 74397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412929534912109 × 217)
    floor (0.412929534912109 × 131072)
    floor (54123.5)     		ty = 54123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74397 / 54123 ti = "17/74397/54123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74397/54123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74397 ÷ 217
    74397 ÷ 131072     		x = 0.567604064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54123 ÷ 217
    54123 ÷ 131072     		y = 0.412925720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567604064941406 × 2 - 1) × π
    0.135208129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42476887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412925720214844 × 2 - 1) × π
    0.174148559570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.547103835363701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42476887} λ = 0.42476887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547103835363701))-π/2
    2×atan(1.72824049382239)-π/2
    2×1.04624339877938-π/2
    2.09248679755876-1.57079632675     		φ = 0.52169047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42476887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.337464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52169047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.890662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74397 KachelY 54123 0.42476887 0.52169047 24.337464 29.890662
    Oben rechts KachelX + 1 74398 KachelY 54123 0.42481680 0.52169047 24.340210 29.890662
    Unten links KachelX 74397 KachelY + 1 54124 0.42476887 0.52164891 24.337464 29.888281
    Unten rechts KachelX + 1 74398 KachelY + 1 54124 0.42481680 0.52164891 24.340210 29.888281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52169047-0.52164891) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52169047-0.52164891) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42476887-0.42481680) × cos(0.52169047) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.866977979132798 × 6371000     		do = 264.742155673144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42476887-0.42481680) × cos(0.52164891) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.866998689662495 × 6371000     		du = 264.748479882535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52169047)-sin(0.52164891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866977979132798-0.866998689662495)×R²
    abs(0.42481680-0.42476887)×2.07105296973209e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.07105296973209e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.07105296973209e-05×40589641000000     		ar = 70098.936967136m²