Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74397 / 53915
↖ ↑ ↗
← N 30.384723°
E 24.337464°		 ← 263.42 m → N 30.384723°
E 24.340210°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
N 30.382353°
E 24.337464°		 ← 263.43 m →
69 396 m²		 N 30.382353°
E 24.340210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567607879638672 y=0.411342620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567607879638672 × 217)
    floor (0.567607879638672 × 131072)
    floor (74397.5)     		tx = 74397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411342620849609 × 217)
    floor (0.411342620849609 × 131072)
    floor (53915.5)     		ty = 53915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74397 / 53915 ti = "17/74397/53915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74397/53915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74397 ÷ 217
    74397 ÷ 131072     		x = 0.567604064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53915 ÷ 217
    53915 ÷ 131072     		y = 0.411338806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567604064941406 × 2 - 1) × π
    0.135208129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42476887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411338806152344 × 2 - 1) × π
    0.177322387695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.557074710484673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42476887} λ = 0.42476887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557074710484673))-π/2
    2×atan(1.74555875961887)-π/2
    2×1.05055488906626-π/2
    2.10110977813253-1.57079632675     		φ = 0.53031345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42476887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.337464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53031345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.384723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74397 KachelY 53915 0.42476887 0.53031345 24.337464 30.384723
    Oben rechts KachelX + 1 74398 KachelY 53915 0.42481680 0.53031345 24.340210 30.384723
    Unten links KachelX 74397 KachelY + 1 53916 0.42476887 0.53027210 24.337464 30.382353
    Unten rechts KachelX + 1 74398 KachelY + 1 53916 0.42481680 0.53027210 24.340210 30.382353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53031345-0.53027210) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dl = 263.440849999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53031345-0.53027210) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dr = 263.440849999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42476887-0.42481680) × cos(0.53031345) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862648568705769 × 6371000     		do = 263.420118116444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42476887-0.42481680) × cos(0.53027210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862669482953885 × 6371000     		du = 263.426504533705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53031345)-sin(0.53027210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862648568705769-0.862669482953885)×R²
    abs(0.42481680-0.42476887)×2.09142481161217e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09142481161217e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09142481161217e-05×40589641000000     		ar = 69396.4610550889m²