Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74396 / 77209
↖ ↑ ↗
← S 30.507850°
E 24.334717°		 ← 263.14 m → S 30.507850°
E 24.337464°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
S 30.510216°
E 24.334717°		 ← 263.14 m →
69 238 m²		 S 30.510216°
E 24.337464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567600250244141 y=0.589061737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567600250244141 × 217)
    floor (0.567600250244141 × 131072)
    floor (74396.5)     		tx = 74396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589061737060547 × 217)
    floor (0.589061737060547 × 131072)
    floor (77209.5)     		ty = 77209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74396 / 77209 ti = "17/74396/77209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74396/77209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74396 ÷ 217
    74396 ÷ 131072     		x = 0.567596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77209 ÷ 217
    77209 ÷ 131072     		y = 0.589057922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567596435546875 × 2 - 1) × π
    0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589057922363281 × 2 - 1) × π
    -0.178115844726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.559567429264915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42472093} λ = 0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559567429264915))-π/2
    2×atan(0.571456205622747)-π/2
    2×0.519166945929534-π/2
    1.03833389185907-1.57079632675     		φ = -0.53246243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53246243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.507850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74396 KachelY 77209 0.42472093 -0.53246243 24.334717 -30.507850
    Oben rechts KachelX + 1 74397 KachelY 77209 0.42476887 -0.53246243 24.337464 -30.507850
    Unten links KachelX 74396 KachelY + 1 77210 0.42472093 -0.53250373 24.334717 -30.510216
    Unten rechts KachelX + 1 74397 KachelY + 1 77210 0.42476887 -0.53250373 24.337464 -30.510216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53246243--0.53250373) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dl = 263.122299999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53246243--0.53250373) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dr = 263.122299999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42472093-0.42476887) × cos(-0.53246243) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861559615466858 × 6371000     		do = 263.142483108213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42472093-0.42476887) × cos(-0.53250373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86153864852242 × 6371000     		du = 263.136079263692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53246243)-sin(-0.53250373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861559615466858-0.86153864852242)×R²
    abs(0.42476887-0.42472093)×2.09669444379834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09669444379834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09669444379834e-05×40589641000000     		ar = 69237.8128956066m²