Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74395 / 77149
↖ ↑ ↗
← S 30.365766°
E 24.331970°		 ← 263.53 m → S 30.365766°
E 24.334717°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 30.368136°
E 24.331970°		 ← 263.52 m →
69 440 m²		 S 30.368136°
E 24.334717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567592620849609 y=0.588603973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567592620849609 × 217)
    floor (0.567592620849609 × 131072)
    floor (74395.5)     		tx = 74395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588603973388672 × 217)
    floor (0.588603973388672 × 131072)
    floor (77149.5)     		ty = 77149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74395 / 77149 ti = "17/74395/77149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74395/77149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74395 ÷ 217
    74395 ÷ 131072     		x = 0.567588806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77149 ÷ 217
    77149 ÷ 131072     		y = 0.588600158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567588806152344 × 2 - 1) × π
    0.135177612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42467299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588600158691406 × 2 - 1) × π
    -0.177200317382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.556691215287712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42467299} λ = 0.42467299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556691215287712))-π/2
    2×atan(0.573102201932792)-π/2
    2×0.520406864560544-π/2
    1.04081372912109-1.57079632675     		φ = -0.52998260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42467299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.331970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52998260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.365766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74395 KachelY 77149 0.42467299 -0.52998260 24.331970 -30.365766
    Oben rechts KachelX + 1 74396 KachelY 77149 0.42472093 -0.52998260 24.334717 -30.365766
    Unten links KachelX 74395 KachelY + 1 77150 0.42467299 -0.53002396 24.331970 -30.368136
    Unten rechts KachelX + 1 74396 KachelY + 1 77150 0.42472093 -0.53002396 24.334717 -30.368136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52998260--0.53002396) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52998260--0.53002396) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42467299-0.42472093) × cos(-0.52998260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862815866664286 × 6371000     		do = 263.526174559813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42467299-0.42472093) × cos(-0.53002396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862794957688246 × 6371000     		du = 263.519788420334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52998260)-sin(-0.53002396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862815866664286-0.862794957688246)×R²
    abs(0.42472093-0.42467299)×2.09089760396797e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09089760396797e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09089760396797e-05×40589641000000     		ar = 69439.5072974199m²