Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74395 / 53575
↖ ↑ ↗
← N 31.186959°
E 24.331970°		 ← 261.29 m → N 31.186959°
E 24.334717°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
N 31.184609°
E 24.331970°		 ← 261.29 m →
68 268 m²		 N 31.184609°
E 24.334717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567592620849609 y=0.408748626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567592620849609 × 217)
    floor (0.567592620849609 × 131072)
    floor (74395.5)     		tx = 74395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408748626708984 × 217)
    floor (0.408748626708984 × 131072)
    floor (53575.5)     		ty = 53575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74395 / 53575 ti = "17/74395/53575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74395/53575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74395 ÷ 217
    74395 ÷ 131072     		x = 0.567588806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53575 ÷ 217
    53575 ÷ 131072     		y = 0.408744812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567588806152344 × 2 - 1) × π
    0.135177612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42467299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408744812011719 × 2 - 1) × π
    0.182510375976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.573373256355492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42467299} λ = 0.42467299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573373256355492))-π/2
    2×atan(1.7742419412551)-π/2
    2×1.05755572090894-π/2
    2.11511144181789-1.57079632675     		φ = 0.54431512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42467299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.331970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54431512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.186959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74395 KachelY 53575 0.42467299 0.54431512 24.331970 31.186959
    Oben rechts KachelX + 1 74396 KachelY 53575 0.42472093 0.54431512 24.334717 31.186959
    Unten links KachelX 74395 KachelY + 1 53576 0.42467299 0.54427411 24.331970 31.184609
    Unten rechts KachelX + 1 74396 KachelY + 1 53576 0.42472093 0.54427411 24.334717 31.184609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54431512-0.54427411) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54431512-0.54427411) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42467299-0.42472093) × cos(0.54431512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85548214438134 × 6371000     		do = 261.286267004589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42467299-0.42472093) × cos(0.54427411) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855503379964959 × 6371000     		du = 261.29275289843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54431512)-sin(0.54427411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85548214438134-0.855503379964959)×R²
    abs(0.42472093-0.42467299)×2.12355836184397e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12355836184397e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12355836184397e-05×40589641000000     		ar = 68268.3409481556m²