Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74394 / 77186
↖ ↑ ↗
← S 30.453409°
E 24.329224°		 ← 263.23 m → S 30.453409°
E 24.331970°		 →
↑
263.25 m
↓
↑
263.25 m
↓
S 30.455777°
E 24.329224°		 ← 263.23 m →
69 296 m²		 S 30.455777°
E 24.331970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567584991455078 y=0.588886260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567584991455078 × 217)
    floor (0.567584991455078 × 131072)
    floor (74394.5)     		tx = 74394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588886260986328 × 217)
    floor (0.588886260986328 × 131072)
    floor (77186.5)     		ty = 77186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74394 / 77186 ti = "17/74394/77186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74394/77186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74394 ÷ 217
    74394 ÷ 131072     		x = 0.567581176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77186 ÷ 217
    77186 ÷ 131072     		y = 0.588882446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567581176757812 × 2 - 1) × π
    0.135162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42462506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588882446289062 × 2 - 1) × π
    -0.177764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.558464880573654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42462506} λ = 0.42462506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558464880573654))-π/2
    2×atan(0.572086611377028)-π/2
    2×0.519642034514851-π/2
    1.0392840690297-1.57079632675     		φ = -0.53151226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42462506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.329224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53151226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.453409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74394 KachelY 77186 0.42462506 -0.53151226 24.329224 -30.453409
    Oben rechts KachelX + 1 74395 KachelY 77186 0.42467299 -0.53151226 24.331970 -30.453409
    Unten links KachelX 74394 KachelY + 1 77187 0.42462506 -0.53155358 24.329224 -30.455777
    Unten rechts KachelX + 1 74395 KachelY + 1 77187 0.42467299 -0.53155358 24.331970 -30.455777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53151226--0.53155358) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dl = 263.249720000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53151226--0.53155358) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dr = 263.249720000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42462506-0.42467299) × cos(-0.53151226) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862041586365951 × 6371000     		do = 263.234768756983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42462506-0.42467299) × cos(-0.53155358) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862020643102439 × 6371000     		du = 263.228373479522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53151226)-sin(-0.53155358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862041586365951-0.862020643102439)×R²
    abs(0.42467299-0.42462506)×2.09432635125406e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09432635125406e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09432635125406e-05×40589641000000     		ar = 69295.6374018383m²