Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74393 / 76730
↖ ↑ ↗
← S 29.367815°
E 24.326477°		 ← 266.18 m → S 29.367815°
E 24.329224°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.370208°
E 24.326477°		 ← 266.17 m →
70 833 m²		 S 29.370208°
E 24.329224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567577362060547 y=0.585407257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567577362060547 × 217)
    floor (0.567577362060547 × 131072)
    floor (74393.5)     		tx = 74393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585407257080078 × 217)
    floor (0.585407257080078 × 131072)
    floor (76730.5)     		ty = 76730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74393 / 76730 ti = "17/74393/76730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74393/76730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74393 ÷ 217
    74393 ÷ 131072     		x = 0.567573547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76730 ÷ 217
    76730 ÷ 131072     		y = 0.585403442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567573547363281 × 2 - 1) × π
    0.135147094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42457712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585403442382812 × 2 - 1) × π
    -0.170806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.536605654346909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42457712} λ = 0.42457712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536605654346909))-π/2
    2×atan(0.584729662263891)-π/2
    2×0.52911563583969-π/2
    1.05823127167938-1.57079632675     		φ = -0.51256506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42457712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.326477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51256506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.367815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74393 KachelY 76730 0.42457712 -0.51256506 24.326477 -29.367815
    Oben rechts KachelX + 1 74394 KachelY 76730 0.42462506 -0.51256506 24.329224 -29.367815
    Unten links KachelX 74393 KachelY + 1 76731 0.42457712 -0.51260683 24.326477 -29.370208
    Unten rechts KachelX + 1 74394 KachelY + 1 76731 0.42462506 -0.51260683 24.329224 -29.370208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51256506--0.51260683) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51256506--0.51260683) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42457712-0.42462506) × cos(-0.51256506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87148943396603 × 6371000     		do = 266.175305271389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42457712-0.42462506) × cos(-0.51260683) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871468948601283 × 6371000     		du = 266.169048513702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51256506)-sin(-0.51260683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87148943396603-0.871468948601283)×R²
    abs(0.42462506-0.42457712)×2.04853647471914e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04853647471914e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04853647471914e-05×40589641000000     		ar = 70832.8533715604m²