Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74393 / 60830
↖ ↑ ↗
← N 12.817158°
E 24.326477°		 ← 297.82 m → N 12.817158°
E 24.329224°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.814480°
E 24.326477°		 ← 297.82 m →
88 684 m²		 N 12.814480°
E 24.329224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567577362060547 y=0.464099884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567577362060547 × 217)
    floor (0.567577362060547 × 131072)
    floor (74393.5)     		tx = 74393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464099884033203 × 217)
    floor (0.464099884033203 × 131072)
    floor (60830.5)     		ty = 60830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74393 / 60830 ti = "17/74393/60830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74393/60830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74393 ÷ 217
    74393 ÷ 131072     		x = 0.567573547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60830 ÷ 217
    60830 ÷ 131072     		y = 0.464096069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567573547363281 × 2 - 1) × π
    0.135147094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42457712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464096069335938 × 2 - 1) × π
    0.071807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.225591049611984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42457712} λ = 0.42457712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225591049611984))-π/2
    2×atan(1.25306311983344)-π/2
    2×0.897248964388443-π/2
    1.79449792877689-1.57079632675     		φ = 0.22370160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42457712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.326477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22370160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.817158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74393 KachelY 60830 0.42457712 0.22370160 24.326477 12.817158
    Oben rechts KachelX + 1 74394 KachelY 60830 0.42462506 0.22370160 24.329224 12.817158
    Unten links KachelX 74393 KachelY + 1 60831 0.42457712 0.22365486 24.326477 12.814480
    Unten rechts KachelX + 1 74394 KachelY + 1 60831 0.42462506 0.22365486 24.329224 12.814480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22370160-0.22365486) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dl = 297.780539999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22370160-0.22365486) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dr = 297.780539999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42457712-0.42462506) × cos(0.22370160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975082966613561 × 6371000     		do = 297.815436639492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42457712-0.42462506) × cos(0.22365486) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975093334373513 × 6371000     		du = 297.818603220247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22370160)-sin(0.22365486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975082966613561-0.975093334373513)×R²
    abs(0.42462506-0.42457712)×1.03677599517793e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.03677599517793e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.03677599517793e-05×40589641000000     		ar = 88684.1130319848m²