Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74392 / 76728
↖ ↑ ↗
← S 29.363027°
E 24.323730°		 ← 266.19 m → S 29.363027°
E 24.326477°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.365421°
E 24.323730°		 ← 266.18 m →
70 853 m²		 S 29.365421°
E 24.326477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567569732666016 y=0.585391998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567569732666016 × 217)
    floor (0.567569732666016 × 131072)
    floor (74392.5)     		tx = 74392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585391998291016 × 217)
    floor (0.585391998291016 × 131072)
    floor (76728.5)     		ty = 76728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74392 / 76728 ti = "17/74392/76728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74392/76728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74392 ÷ 217
    74392 ÷ 131072     		x = 0.56756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76728 ÷ 217
    76728 ÷ 131072     		y = 0.58538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536509780547669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42452918} λ = 0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536509780547669))-π/2
    2×atan(0.584785725205581)-π/2
    2×0.529157413323409-π/2
    1.05831482664682-1.57079632675     		φ = -0.51248150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51248150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.363027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74392 KachelY 76728 0.42452918 -0.51248150 24.323730 -29.363027
    Oben rechts KachelX + 1 74393 KachelY 76728 0.42457712 -0.51248150 24.326477 -29.363027
    Unten links KachelX 74392 KachelY + 1 76729 0.42452918 -0.51252328 24.323730 -29.365421
    Unten rechts KachelX + 1 74393 KachelY + 1 76729 0.42457712 -0.51252328 24.326477 -29.365421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51248150--0.51252328) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51248150--0.51252328) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42452918-0.42457712) × cos(-0.51248150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871530409940769 × 6371000     		do = 266.187820388488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42452918-0.42457712) × cos(-0.51252328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871509922714039 × 6371000     		du = 266.181563062104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51248150)-sin(-0.51252328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871530409940769-0.871509922714039)×R²
    abs(0.42457712-0.42452918)×2.04872267295375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04872267295375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04872267295375e-05×40589641000000     		ar = 70853.1424038126m²