Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74392 / 53512
↖ ↑ ↗
← N 31.334871°
E 24.323730°		 ← 260.88 m → N 31.334871°
E 24.326477°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
N 31.332525°
E 24.323730°		 ← 260.88 m →
68 062 m²		 N 31.332525°
E 24.326477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567569732666016 y=0.408267974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567569732666016 × 217)
    floor (0.567569732666016 × 131072)
    floor (74392.5)     		tx = 74392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408267974853516 × 217)
    floor (0.408267974853516 × 131072)
    floor (53512.5)     		ty = 53512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74392 / 53512 ti = "17/74392/53512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74392/53512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74392 ÷ 217
    74392 ÷ 131072     		x = 0.56756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53512 ÷ 217
    53512 ÷ 131072     		y = 0.40826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40826416015625 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.576393281031555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42452918} λ = 0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576393281031555))-π/2
    2×atan(1.77960829488051)-π/2
    2×1.05884649850553-π/2
    2.11769299701106-1.57079632675     		φ = 0.54689667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54689667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.334871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74392 KachelY 53512 0.42452918 0.54689667 24.323730 31.334871
    Oben rechts KachelX + 1 74393 KachelY 53512 0.42457712 0.54689667 24.326477 31.334871
    Unten links KachelX 74392 KachelY + 1 53513 0.42452918 0.54685572 24.323730 31.332525
    Unten rechts KachelX + 1 74393 KachelY + 1 53513 0.42457712 0.54685572 24.326477 31.332525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54689667-0.54685572) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dl = 260.892449999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54689667-0.54685572) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dr = 260.892449999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42452918-0.42457712) × cos(0.54689667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854142485231692 × 6371000     		do = 260.877100617157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42452918-0.42457712) × cos(0.54685572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854163780114681 × 6371000     		du = 260.883604622553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54689667)-sin(0.54685572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854142485231692-0.854163780114681)×R²
    abs(0.42457712-0.42452918)×2.12948829897419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12948829897419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12948829897419e-05×40589641000000     		ar = 68061.7143613655m²