Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74391 / 77498
↖ ↑ ↗
← S 31.189308°
E 24.320984°		 ← 261.23 m → S 31.189308°
E 24.323730°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 31.191658°
E 24.320984°		 ← 261.22 m →
68 251 m²		 S 31.191658°
E 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567562103271484 y=0.591266632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567562103271484 × 217)
    floor (0.567562103271484 × 131072)
    floor (74391.5)     		tx = 74391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591266632080078 × 217)
    floor (0.591266632080078 × 131072)
    floor (77498.5)     		ty = 77498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74391 / 77498 ti = "17/74391/77498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74391/77498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74391 ÷ 217
    74391 ÷ 131072     		x = 0.567558288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77498 ÷ 217
    77498 ÷ 131072     		y = 0.591262817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567558288574219 × 2 - 1) × π
    0.135116577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42448125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591262817382812 × 2 - 1) × π
    -0.182525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.573421193255112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42448125} λ = 0.42448125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573421193255112))-π/2
    2×atan(0.563593972726158)-π/2
    2×0.513220101559548-π/2
    1.0264402031191-1.57079632675     		φ = -0.54435612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42448125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.320984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54435612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.189308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74391 KachelY 77498 0.42448125 -0.54435612 24.320984 -31.189308
    Oben rechts KachelX + 1 74392 KachelY 77498 0.42452918 -0.54435612 24.323730 -31.189308
    Unten links KachelX 74391 KachelY + 1 77499 0.42448125 -0.54439713 24.320984 -31.191658
    Unten rechts KachelX + 1 74392 KachelY + 1 77499 0.42452918 -0.54439713 24.323730 -31.191658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54435612--0.54439713) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54435612--0.54439713) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42448125-0.42452918) × cos(-0.54435612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.855460912537629 × 6371000     		do = 261.225280838303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42448125-0.42452918) × cos(-0.54439713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.855439674076862 × 6371000     		du = 261.218795418809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54435612)-sin(-0.54439713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855460912537629-0.855439674076862)×R²
    abs(0.42452918-0.42448125)×2.12384607660709e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12384607660709e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12384607660709e-05×40589641000000     		ar = 68250.7122672399m²