Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74391 / 53513
↖ ↑ ↗
← N 31.332525°
E 24.320984°		 ← 260.83 m → N 31.332525°
E 24.323730°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
N 31.330179°
E 24.320984°		 ← 260.84 m →
68 033 m²		 N 31.330179°
E 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567562103271484 y=0.408275604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567562103271484 × 217)
    floor (0.567562103271484 × 131072)
    floor (74391.5)     		tx = 74391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408275604248047 × 217)
    floor (0.408275604248047 × 131072)
    floor (53513.5)     		ty = 53513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74391 / 53513 ti = "17/74391/53513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74391/53513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74391 ÷ 217
    74391 ÷ 131072     		x = 0.567558288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53513 ÷ 217
    53513 ÷ 131072     		y = 0.408271789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567558288574219 × 2 - 1) × π
    0.135116577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42448125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408271789550781 × 2 - 1) × π
    0.183456420898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.576345344131935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42448125} λ = 0.42448125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576345344131935))-π/2
    2×atan(1.77952298802101)-π/2
    2×1.05882602577907-π/2
    2.11765205155814-1.57079632675     		φ = 0.54685572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42448125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.320984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54685572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.332525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74391 KachelY 53513 0.42448125 0.54685572 24.320984 31.332525
    Oben rechts KachelX + 1 74392 KachelY 53513 0.42452918 0.54685572 24.323730 31.332525
    Unten links KachelX 74391 KachelY + 1 53514 0.42448125 0.54681478 24.320984 31.330179
    Unten rechts KachelX + 1 74392 KachelY + 1 53514 0.42452918 0.54681478 24.323730 31.330179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54685572-0.54681478) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dl = 260.828740000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54685572-0.54681478) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dr = 260.828740000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42448125-0.42452918) × cos(0.54685572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854163780114681 × 6371000     		do = 260.829185848452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42448125-0.42452918) × cos(0.54681478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854185068365631 × 6371000     		du = 260.835686471977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54685572)-sin(0.54681478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854163780114681-0.854185068365631)×R²
    abs(0.42452918-0.42448125)×2.12882509493806e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12882509493806e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12882509493806e-05×40589641000000     		ar = 68032.5956843938m²