Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74390 / 53521
↖ ↑ ↗
← N 31.313755°
E 24.318237°		 ← 260.94 m → N 31.313755°
E 24.320984°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
N 31.311408°
E 24.318237°		 ← 260.94 m →
68 077 m²		 N 31.311408°
E 24.320984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567554473876953 y=0.408336639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567554473876953 × 217)
    floor (0.567554473876953 × 131072)
    floor (74390.5)     		tx = 74390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408336639404297 × 217)
    floor (0.408336639404297 × 131072)
    floor (53521.5)     		ty = 53521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74390 / 53521 ti = "17/74390/53521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74390/53521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74390 ÷ 217
    74390 ÷ 131072     		x = 0.567550659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53521 ÷ 217
    53521 ÷ 131072     		y = 0.408332824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567550659179688 × 2 - 1) × π
    0.135101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42443331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408332824707031 × 2 - 1) × π
    0.183334350585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.575961848934975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42443331} λ = 0.42443331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575961848934975))-π/2
    2×atan(1.77884068034144)-π/2
    2×1.05866222559703-π/2
    2.11732445119406-1.57079632675     		φ = 0.54652812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42443331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.318237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54652812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.313755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74390 KachelY 53521 0.42443331 0.54652812 24.318237 31.313755
    Oben rechts KachelX + 1 74391 KachelY 53521 0.42448125 0.54652812 24.320984 31.313755
    Unten links KachelX 74390 KachelY + 1 53522 0.42443331 0.54648717 24.318237 31.311408
    Unten rechts KachelX + 1 74391 KachelY + 1 53522 0.42448125 0.54648717 24.320984 31.311408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54652812-0.54648717) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dl = 260.892449999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54652812-0.54648717) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dr = 260.892449999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42443331-0.42448125) × cos(0.54652812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854334087611022 × 6371000     		do = 260.93562091565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42443331-0.42448125) × cos(0.54648717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854355369601583 × 6371000     		du = 260.942120983366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54652812)-sin(0.54648717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854334087611022-0.854355369601583)×R²
    abs(0.42448125-0.42443331)×2.12819905600625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12819905600625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12819905600625e-05×40589641000000     		ar = 68076.9813514458m²