Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74390 / 53503
↖ ↑ ↗
← N 31.355982°
E 24.318237°		 ← 260.82 m → N 31.355982°
E 24.320984°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
N 31.353637°
E 24.318237°		 ← 260.83 m →
68 013 m²		 N 31.353637°
E 24.320984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567554473876953 y=0.408199310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567554473876953 × 217)
    floor (0.567554473876953 × 131072)
    floor (74390.5)     		tx = 74390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408199310302734 × 217)
    floor (0.408199310302734 × 131072)
    floor (53503.5)     		ty = 53503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74390 / 53503 ti = "17/74390/53503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74390/53503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74390 ÷ 217
    74390 ÷ 131072     		x = 0.567550659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53503 ÷ 217
    53503 ÷ 131072     		y = 0.408195495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567550659179688 × 2 - 1) × π
    0.135101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42443331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408195495605469 × 2 - 1) × π
    0.183609008789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.576824713128136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42443331} λ = 0.42443331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576824713128136))-π/2
    2×atan(1.78037624066458)-π/2
    2×1.05903073007492-π/2
    2.11806146014983-1.57079632675     		φ = 0.54726513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42443331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.318237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54726513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.355982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74390 KachelY 53503 0.42443331 0.54726513 24.318237 31.355982
    Oben rechts KachelX + 1 74391 KachelY 53503 0.42448125 0.54726513 24.320984 31.355982
    Unten links KachelX 74390 KachelY + 1 53504 0.42443331 0.54722420 24.318237 31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 74391 KachelY + 1 53504 0.42448125 0.54722420 24.320984 31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54726513-0.54722420) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dl = 260.765029999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54726513-0.54722420) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dr = 260.765029999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42443331-0.42448125) × cos(0.54726513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853950813666794 × 6371000     		do = 260.818559187612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42443331-0.42448125) × cos(0.54722420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 260.825063950467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54726513)-sin(0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853950813666794-0.853972111029799)×R²
    abs(0.42448125-0.42443331)×2.1297363004269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1297363004269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1297363004269e-05×40589641000000     		ar = 68013.2075278355m²