Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7439 / 7407
↖ ↑ ↗
← S 80.976799°
E146.909180°		 ← 766.37 m → S 80.976799°
E146.953125°		 →
↑
766.05 m
↓
↑
766.05 m
↓
S 80.983688°
E146.909180°		 ← 765.79 m →
586 855 m²		 S 80.983688°
E146.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90814208984375 y=0.90423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90814208984375 × 213)
    floor (0.90814208984375 × 8192)
    floor (7439.5)     		tx = 7439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90423583984375 × 213)
    floor (0.90423583984375 × 8192)
    floor (7407.5)     		ty = 7407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7439 / 7407 ti = "13/7439/7407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7439/7407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7439 ÷ 213
    7439 ÷ 8192     		x = 0.9080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7407 ÷ 213
    7407 ÷ 8192     		y = 0.9041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9080810546875 × 2 - 1) × π
    0.816162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56404889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56404889} λ = 2.56404889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53950519427209))-π/2
    2×atan(0.0789054329931603)-π/2
    2×0.0787422851756005-π/2
    0.157484570351201-1.57079632675     		φ = -1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56404889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.909180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7439 KachelY 7407 2.56404889 -1.41331176 146.909180 -80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 7440 KachelY 7407 2.56481588 -1.41331176 146.953125 -80.976799
    Unten links KachelX 7439 KachelY + 1 7408 2.56404889 -1.41343200 146.909180 -80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 7440 KachelY + 1 7408 2.56481588 -1.41343200 146.953125 -80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41331176--1.41343200) × R
    0.000120239999999994 × 6371000     		dl = 766.04903999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41331176--1.41343200) × R
    0.000120239999999994 × 6371000     		dr = 766.04903999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56404889-2.56481588) × cos(-1.41331176) × R
    0.000766989999999801 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 766.370247679818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56404889-2.56481588) × cos(-1.41343200) × R
    0.000766989999999801 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 765.789961194036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41331176)-sin(-1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156715647755291)×R²
    abs(2.56481588-2.56404889)×0.000118753153098478×R²
    0.000766989999999801×0.000118753153098478×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118753153098478×40589641000000     		ar = 586854.929273452m²