Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74389 / 53903
↖ ↑ ↗
← N 30.413150°
E 24.315491°		 ← 263.40 m → N 30.413150°
E 24.318237°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
N 30.410782°
E 24.315491°		 ← 263.40 m →
69 374 m²		 N 30.410782°
E 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567546844482422 y=0.411251068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567546844482422 × 217)
    floor (0.567546844482422 × 131072)
    floor (74389.5)     		tx = 74389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411251068115234 × 217)
    floor (0.411251068115234 × 131072)
    floor (53903.5)     		ty = 53903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74389 / 53903 ti = "17/74389/53903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74389/53903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74389 ÷ 217
    74389 ÷ 131072     		x = 0.567543029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53903 ÷ 217
    53903 ÷ 131072     		y = 0.411247253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567543029785156 × 2 - 1) × π
    0.135086059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42438537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411247253417969 × 2 - 1) × π
    0.177505493164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.557649953280113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42438537} λ = 0.42438537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557649953280113))-π/2
    2×atan(1.74656316858117)-π/2
    2×1.05080296915052-π/2
    2.10160593830105-1.57079632675     		φ = 0.53080961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42438537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.315491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53080961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.413150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74389 KachelY 53903 0.42438537 0.53080961 24.315491 30.413150
    Oben rechts KachelX + 1 74390 KachelY 53903 0.42443331 0.53080961 24.318237 30.413150
    Unten links KachelX 74389 KachelY + 1 53904 0.42438537 0.53076827 24.315491 30.410782
    Unten rechts KachelX + 1 74390 KachelY + 1 53904 0.42443331 0.53076827 24.318237 30.410782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53080961-0.53076827) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53080961-0.53076827) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42438537-0.42443331) × cos(0.53080961) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862397502939751 × 6371000     		do = 263.398395509658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42438537-0.42443331) × cos(0.53076827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862418429821831 × 6371000     		du = 263.404787118103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53080961)-sin(0.53076827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862397502939751-0.862418429821831)×R²
    abs(0.42443331-0.42438537)×2.09268820794417e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09268820794417e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09268820794417e-05×40589641000000     		ar = 69373.9578016188m²