Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74388 / 77163
↖ ↑ ↗
← S 30.398938°
E 24.312744°		 ← 263.38 m → S 30.398938°
E 24.315491°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 30.401307°
E 24.312744°		 ← 263.38 m →
69 385 m²		 S 30.401307°
E 24.315491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567539215087891 y=0.588710784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567539215087891 × 217)
    floor (0.567539215087891 × 131072)
    floor (74388.5)     		tx = 74388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588710784912109 × 217)
    floor (0.588710784912109 × 131072)
    floor (77163.5)     		ty = 77163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74388 / 77163 ti = "17/74388/77163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74388/77163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74388 ÷ 217
    74388 ÷ 131072     		x = 0.567535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77163 ÷ 217
    77163 ÷ 131072     		y = 0.588706970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567535400390625 × 2 - 1) × π
    0.13507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42433744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588706970214844 × 2 - 1) × π
    -0.177413940429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.557362331882393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42433744} λ = 0.42433744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557362331882393))-π/2
    2×atan(0.572717712567654)-π/2
    2×0.520117388660014-π/2
    1.04023477732003-1.57079632675     		φ = -0.53056155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42433744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.312744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53056155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.398938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74388 KachelY 77163 0.42433744 -0.53056155 24.312744 -30.398938
    Oben rechts KachelX + 1 74389 KachelY 77163 0.42438537 -0.53056155 24.315491 -30.398938
    Unten links KachelX 74388 KachelY + 1 77164 0.42433744 -0.53060290 24.312744 -30.401307
    Unten rechts KachelX + 1 74389 KachelY + 1 77164 0.42438537 -0.53060290 24.315491 -30.401307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53056155--0.53060290) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dl = 263.440849999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53056155--0.53060290) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dr = 263.440849999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42433744-0.42438537) × cos(-0.53056155) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862523052243829 × 6371000     		do = 263.381790154828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42433744-0.42438537) × cos(-0.53060290) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862502127671633 × 6371000     		du = 263.375400584985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53056155)-sin(-0.53060290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862523052243829-0.862502127671633)×R²
    abs(0.42438537-0.42433744)×2.09245721966012e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09245721966012e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09245721966012e-05×40589641000000     		ar = 69384.6810456729m²