Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74388 / 53811
↖ ↑ ↗
← N 30.630822°
E 24.312744°		 ← 262.75 m → N 30.630822°
E 24.315491°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
N 30.628459°
E 24.312744°		 ← 262.76 m →
69 054 m²		 N 30.628459°
E 24.315491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567539215087891 y=0.410549163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567539215087891 × 217)
    floor (0.567539215087891 × 131072)
    floor (74388.5)     		tx = 74388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410549163818359 × 217)
    floor (0.410549163818359 × 131072)
    floor (53811.5)     		ty = 53811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74388 / 53811 ti = "17/74388/53811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74388/53811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74388 ÷ 217
    74388 ÷ 131072     		x = 0.567535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53811 ÷ 217
    53811 ÷ 131072     		y = 0.410545349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567535400390625 × 2 - 1) × π
    0.13507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42433744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410545349121094 × 2 - 1) × π
    0.178909301757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.562060148045158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42433744} λ = 0.42433744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562060148045158))-π/2
    2×atan(1.75428286248868)-π/2
    2×1.05270251381606-π/2
    2.10540502763212-1.57079632675     		φ = 0.53460870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42433744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.312744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53460870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.630822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74388 KachelY 53811 0.42433744 0.53460870 24.312744 30.630822
    Oben rechts KachelX + 1 74389 KachelY 53811 0.42438537 0.53460870 24.315491 30.630822
    Unten links KachelX 74388 KachelY + 1 53812 0.42433744 0.53456745 24.312744 30.628459
    Unten rechts KachelX + 1 74389 KachelY + 1 53812 0.42438537 0.53456745 24.315491 30.628459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53460870-0.53456745) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53460870-0.53456745) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42433744-0.42438537) × cos(0.53460870) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860468064208081 × 6371000     		do = 262.754274836607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42433744-0.42438537) × cos(0.53456745) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860489080531569 × 6371000     		du = 262.76069242381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53460870)-sin(0.53456745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860468064208081-0.860489080531569)×R²
    abs(0.42438537-0.42433744)×2.10163234871663e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10163234871663e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10163234871663e-05×40589641000000     		ar = 69053.6520484064m²