Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74387 / 78029
↖ ↑ ↗
← S 32.428658°
E 24.309998°		 ← 257.80 m → S 32.428658°
E 24.312744°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
S 32.430977°
E 24.309998°		 ← 257.79 m →
66 452 m²		 S 32.430977°
E 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567531585693359 y=0.595317840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567531585693359 × 217)
    floor (0.567531585693359 × 131072)
    floor (74387.5)     		tx = 74387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595317840576172 × 217)
    floor (0.595317840576172 × 131072)
    floor (78029.5)     		ty = 78029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74387 / 78029 ti = "17/74387/78029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74387/78029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74387 ÷ 217
    74387 ÷ 131072     		x = 0.567527770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78029 ÷ 217
    78029 ÷ 131072     		y = 0.595314025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567527770996094 × 2 - 1) × π
    0.135055541992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42428950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595314025878906 × 2 - 1) × π
    -0.190628051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.598875686953362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42428950} λ = 0.42428950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598875686953362))-π/2
    2×atan(0.549429019177527)-π/2
    2×0.502404732244186-π/2
    1.00480946448837-1.57079632675     		φ = -0.56598686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42428950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.309998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56598686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.428658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74387 KachelY 78029 0.42428950 -0.56598686 24.309998 -32.428658
    Oben rechts KachelX + 1 74388 KachelY 78029 0.42433744 -0.56598686 24.312744 -32.428658
    Unten links KachelX 74387 KachelY + 1 78030 0.42428950 -0.56602732 24.309998 -32.430977
    Unten rechts KachelX + 1 74388 KachelY + 1 78030 0.42433744 -0.56602732 24.312744 -32.430977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56598686--0.56602732) × R
    4.04600000000199e-05 × 6371000     		dl = 257.770660000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56598686--0.56602732) × R
    4.04600000000199e-05 × 6371000     		dr = 257.770660000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42428950-0.42433744) × cos(-0.56598686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.844059808787643 × 6371000     		do = 257.797591703354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42428950-0.42433744) × cos(-0.56602732) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.844038111460385 × 6371000     		du = 257.79096478112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56598686)-sin(-0.56602732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844059808787643-0.844038111460385)×R²
    abs(0.42433744-0.42428950)×2.16973272575416e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16973272575416e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16973272575416e-05×40589641000000     		ar = 66451.8012559129m²