Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74387 / 53809
↖ ↑ ↗
← N 30.635549°
E 24.309998°		 ← 262.80 m → N 30.635549°
E 24.312744°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
N 30.633186°
E 24.309998°		 ← 262.80 m →
69 065 m²		 N 30.633186°
E 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567531585693359 y=0.410533905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567531585693359 × 217)
    floor (0.567531585693359 × 131072)
    floor (74387.5)     		tx = 74387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410533905029297 × 217)
    floor (0.410533905029297 × 131072)
    floor (53809.5)     		ty = 53809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74387 / 53809 ti = "17/74387/53809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74387/53809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74387 ÷ 217
    74387 ÷ 131072     		x = 0.567527770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53809 ÷ 217
    53809 ÷ 131072     		y = 0.410530090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567527770996094 × 2 - 1) × π
    0.135055541992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42428950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410530090332031 × 2 - 1) × π
    0.178939819335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.562156021844399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42428950} λ = 0.42428950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562156021844399))-π/2
    2×atan(1.7544510603144)-π/2
    2×1.05274376097978-π/2
    2.10548752195956-1.57079632675     		φ = 0.53469120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42428950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.309998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53469120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.635549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74387 KachelY 53809 0.42428950 0.53469120 24.309998 30.635549
    Oben rechts KachelX + 1 74388 KachelY 53809 0.42433744 0.53469120 24.312744 30.635549
    Unten links KachelX 74387 KachelY + 1 53810 0.42428950 0.53464995 24.309998 30.633186
    Unten rechts KachelX + 1 74388 KachelY + 1 53810 0.42433744 0.53464995 24.312744 30.633186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53469120-0.53464995) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53469120-0.53464995) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42428950-0.42433744) × cos(0.53469120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860426027168722 × 6371000     		do = 262.796256063399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42428950-0.42433744) × cos(0.53464995) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860447046420454 × 6371000     		du = 262.802675883914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53469120)-sin(0.53464995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860426027168722-0.860447046420454)×R²
    abs(0.42433744-0.42428950)×2.10192517318131e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10192517318131e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10192517318131e-05×40589641000000     		ar = 69064.6851656098m²