Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74385 / 90322
↖ ↑ ↗
← S 56.099620°
E 24.304504°		 ← 170.35 m → S 56.099620°
E 24.307251°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
S 56.101152°
E 24.304504°		 ← 170.34 m →
29 021 m²		 S 56.101152°
E 24.307251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567516326904297 y=0.689105987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567516326904297 × 217)
    floor (0.567516326904297 × 131072)
    floor (74385.5)     		tx = 74385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689105987548828 × 217)
    floor (0.689105987548828 × 131072)
    floor (90322.5)     		ty = 90322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74385 / 90322 ti = "17/74385/90322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74385/90322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74385 ÷ 217
    74385 ÷ 131072     		x = 0.567512512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90322 ÷ 217
    90322 ÷ 131072     		y = 0.689102172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567512512207031 × 2 - 1) × π
    0.135025024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42419362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689102172851562 × 2 - 1) × π
    -0.378204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18816399398271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42419362} λ = 0.42419362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18816399398271))-π/2
    2×atan(0.304780329204549)-π/2
    2×0.295836627069704-π/2
    0.591673254139409-1.57079632675     		φ = -0.97912307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42419362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.304504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97912307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.099620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74385 KachelY 90322 0.42419362 -0.97912307 24.304504 -56.099620
    Oben rechts KachelX + 1 74386 KachelY 90322 0.42424156 -0.97912307 24.307251 -56.099620
    Unten links KachelX 74385 KachelY + 1 90323 0.42419362 -0.97914981 24.304504 -56.101152
    Unten rechts KachelX + 1 74386 KachelY + 1 90323 0.42424156 -0.97914981 24.307251 -56.101152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97912307--0.97914981) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dl = 170.36054000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97912307--0.97914981) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dr = 170.36054000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42419362-0.42424156) × cos(-0.97912307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		do = 170.351396018583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42419362-0.42424156) × cos(-0.97914981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557728425926222 × 6371000     		du = 170.344617207637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97912307)-sin(-0.97914981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557750620555091-0.557728425926222)×R²
    abs(0.42424156-0.42419362)×2.21946288687658e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21946288687658e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21946288687658e-05×40589641000000     		ar = 29020.5783962035m²