Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74385 / 55187
↖ ↑ ↗
← N 27.325415°
E 24.304504°		 ← 271.34 m → N 27.325415°
E 24.307251°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.322975°
E 24.304504°		 ← 271.35 m →
73 628 m²		 N 27.322975°
E 24.307251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567516326904297 y=0.421047210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567516326904297 × 217)
    floor (0.567516326904297 × 131072)
    floor (74385.5)     		tx = 74385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421047210693359 × 217)
    floor (0.421047210693359 × 131072)
    floor (55187.5)     		ty = 55187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74385 / 55187 ti = "17/74385/55187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74385/55187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74385 ÷ 217
    74385 ÷ 131072     		x = 0.567512512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55187 ÷ 217
    55187 ÷ 131072     		y = 0.421043395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567512512207031 × 2 - 1) × π
    0.135025024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42419362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421043395996094 × 2 - 1) × π
    0.157913208007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.496098974167961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42419362} λ = 0.42419362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496098974167961))-π/2
    2×atan(1.64230209525849)-π/2
    2×1.02385739465927-π/2
    2.04771478931854-1.57079632675     		φ = 0.47691846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42419362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.304504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47691846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.325415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74385 KachelY 55187 0.42419362 0.47691846 24.304504 27.325415
    Oben rechts KachelX + 1 74386 KachelY 55187 0.42424156 0.47691846 24.307251 27.325415
    Unten links KachelX 74385 KachelY + 1 55188 0.42419362 0.47687587 24.304504 27.322975
    Unten rechts KachelX + 1 74386 KachelY + 1 55188 0.42424156 0.47687587 24.307251 27.322975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47691846-0.47687587) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dl = 271.340890000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47691846-0.47687587) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dr = 271.340890000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42419362-0.42424156) × cos(0.47691846) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888413700128558 × 6371000     		do = 271.344411788039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42419362-0.42424156) × cos(0.47687587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888433249993007 × 6371000     		du = 271.350382819855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47691846)-sin(0.47687587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888413700128558-0.888433249993007)×R²
    abs(0.42424156-0.42419362)×1.95498644485204e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95498644485204e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95498644485204e-05×40589641000000     		ar = 73627.6442947081m²