Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74384 / 77141
↖ ↑ ↗
← S 30.346806°
E 24.301758°		 ← 263.52 m → S 30.346806°
E 24.304504°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.349176°
E 24.301758°		 ← 263.52 m →
69 455 m²		 S 30.349176°
E 24.304504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567508697509766 y=0.588542938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567508697509766 × 217)
    floor (0.567508697509766 × 131072)
    floor (74384.5)     		tx = 74384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588542938232422 × 217)
    floor (0.588542938232422 × 131072)
    floor (77141.5)     		ty = 77141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74384 / 77141 ti = "17/74384/77141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74384/77141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74384 ÷ 217
    74384 ÷ 131072     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77141 ÷ 217
    77141 ÷ 131072     		y = 0.588539123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588539123535156 × 2 - 1) × π
    -0.177078247070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.556307720090752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556307720090752))-π/2
    2×atan(0.573322026022648)-π/2
    2×0.520572323465846-π/2
    1.04114464693169-1.57079632675     		φ = -0.52965168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52965168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.346806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74384 KachelY 77141 0.42414569 -0.52965168 24.301758 -30.346806
    Oben rechts KachelX + 1 74385 KachelY 77141 0.42419362 -0.52965168 24.304504 -30.346806
    Unten links KachelX 74384 KachelY + 1 77142 0.42414569 -0.52969305 24.301758 -30.349176
    Unten rechts KachelX + 1 74385 KachelY + 1 77142 0.42419362 -0.52969305 24.304504 -30.349176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52965168--0.52969305) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dl = 263.568270000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52965168--0.52969305) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dr = 263.568270000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42419362) × cos(-0.52965168) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862983105543789 × 6371000     		do = 263.522272964412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42419362) × cos(-0.52969305) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.862962203325299 × 6371000     		du = 263.515890220542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52965168)-sin(-0.52969305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862983105543789-0.862962203325299)×R²
    abs(0.42419362-0.42414569)×2.09022184904928e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09022184904928e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09022184904928e-05×40589641000000     		ar = 69455.268457312m²