Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74383 / 76719
↖ ↑ ↗
← S 29.341481°
E 24.299011°		 ← 266.24 m → S 29.341481°
E 24.301758°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 29.343875°
E 24.299011°		 ← 266.24 m →
70 885 m²		 S 29.343875°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567501068115234 y=0.585323333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567501068115234 × 217)
    floor (0.567501068115234 × 131072)
    floor (74383.5)     		tx = 74383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585323333740234 × 217)
    floor (0.585323333740234 × 131072)
    floor (76719.5)     		ty = 76719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74383 / 76719 ti = "17/74383/76719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74383/76719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74383 ÷ 217
    74383 ÷ 131072     		x = 0.567497253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76719 ÷ 217
    76719 ÷ 131072     		y = 0.585319519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567497253417969 × 2 - 1) × π
    0.134994506835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42409775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585319519042969 × 2 - 1) × π
    -0.170639038085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.536078348451088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42409775} λ = 0.42409775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536078348451088))-π/2
    2×atan(0.585038074969037)-π/2
    2×0.529345436302299-π/2
    1.0586908726046-1.57079632675     		φ = -0.51210545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42409775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.299011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51210545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.341481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74383 KachelY 76719 0.42409775 -0.51210545 24.299011 -29.341481
    Oben rechts KachelX + 1 74384 KachelY 76719 0.42414569 -0.51210545 24.301758 -29.341481
    Unten links KachelX 74383 KachelY + 1 76720 0.42409775 -0.51214724 24.299011 -29.343875
    Unten rechts KachelX + 1 74384 KachelY + 1 76720 0.42414569 -0.51214724 24.301758 -29.343875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51210545--0.51214724) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51210545--0.51214724) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42409775-0.42414569) × cos(-0.51210545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871714741218238 × 6371000     		do = 266.244119905623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42409775-0.42414569) × cos(-0.51214724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87169426278523 × 6371000     		du = 266.237865265067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51210545)-sin(-0.51214724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871714741218238-0.87169426278523)×R²
    abs(0.42414569-0.42409775)×2.04784330074537e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04784330074537e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04784330074537e-05×40589641000000     		ar = 70885.0908019776m²