Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74383 / 55190
↖ ↑ ↗
← N 27.318094°
E 24.299011°		 ← 271.36 m → N 27.318094°
E 24.301758°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.315654°
E 24.299011°		 ← 271.37 m →
73 633 m²		 N 27.315654°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567501068115234 y=0.421070098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567501068115234 × 217)
    floor (0.567501068115234 × 131072)
    floor (74383.5)     		tx = 74383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421070098876953 × 217)
    floor (0.421070098876953 × 131072)
    floor (55190.5)     		ty = 55190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74383 / 55190 ti = "17/74383/55190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74383/55190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74383 ÷ 217
    74383 ÷ 131072     		x = 0.567497253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55190 ÷ 217
    55190 ÷ 131072     		y = 0.421066284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567497253417969 × 2 - 1) × π
    0.134994506835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42409775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421066284179688 × 2 - 1) × π
    0.157867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.495955163469101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42409775} λ = 0.42409775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495955163469101))-π/2
    2×atan(1.64206593162826)-π/2
    2×1.02379351085334-π/2
    2.04758702170669-1.57079632675     		φ = 0.47679069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42409775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.299011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47679069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.318094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74383 KachelY 55190 0.42409775 0.47679069 24.299011 27.318094
    Oben rechts KachelX + 1 74384 KachelY 55190 0.42414569 0.47679069 24.301758 27.318094
    Unten links KachelX 74383 KachelY + 1 55191 0.42409775 0.47674810 24.299011 27.315654
    Unten rechts KachelX + 1 74384 KachelY + 1 55191 0.42414569 0.47674810 24.301758 27.315654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47679069-0.47674810) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dl = 271.340890000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47679069-0.47674810) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dr = 271.340890000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42409775-0.42414569) × cos(0.47679069) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888472344887259 × 6371000     		do = 271.362323406863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42409775-0.42414569) × cos(0.47674810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888491889916993 × 6371000     		du = 271.368292962032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47679069)-sin(0.47674810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888472344887259-0.888491889916993)×R²
    abs(0.42414569-0.42409775)×1.95450297333366e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95450297333366e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95450297333366e-05×40589641000000     		ar = 73632.5042490597m²