Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74383 / 53571
↖ ↑ ↗
← N 31.196357°
E 24.299011°		 ← 261.26 m → N 31.196357°
E 24.301758°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
N 31.194008°
E 24.299011°		 ← 261.27 m →
68 245 m²		 N 31.194008°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567501068115234 y=0.408718109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567501068115234 × 217)
    floor (0.567501068115234 × 131072)
    floor (74383.5)     		tx = 74383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408718109130859 × 217)
    floor (0.408718109130859 × 131072)
    floor (53571.5)     		ty = 53571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74383 / 53571 ti = "17/74383/53571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74383/53571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74383 ÷ 217
    74383 ÷ 131072     		x = 0.567497253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53571 ÷ 217
    53571 ÷ 131072     		y = 0.408714294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567497253417969 × 2 - 1) × π
    0.134994506835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42409775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408714294433594 × 2 - 1) × π
    0.182571411132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.573565003953972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42409775} λ = 0.42409775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573565003953972))-π/2
    2×atan(1.77458218050545)-π/2
    2×1.0576377351604-π/2
    2.11527547032079-1.57079632675     		φ = 0.54447914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42409775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.299011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54447914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.196357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74383 KachelY 53571 0.42409775 0.54447914 24.299011 31.196357
    Oben rechts KachelX + 1 74384 KachelY 53571 0.42414569 0.54447914 24.301758 31.196357
    Unten links KachelX 74383 KachelY + 1 53572 0.42409775 0.54443814 24.299011 31.194008
    Unten rechts KachelX + 1 74384 KachelY + 1 53572 0.42414569 0.54443814 24.301758 31.194008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54447914-0.54443814) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dl = 261.210999999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54447914-0.54443814) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dr = 261.210999999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42409775-0.42414569) × cos(0.54447914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855397198019005 × 6371000     		do = 261.260322199012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42409775-0.42414569) × cos(0.54443814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855418434177401 × 6371000     		du = 261.266808268405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54447914)-sin(0.54443814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855397198019005-0.855418434177401)×R²
    abs(0.42414569-0.42409775)×2.12361583953324e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12361583953324e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12361583953324e-05×40589641000000     		ar = 68244.9171477606m²