Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74382 / 54130
↖ ↑ ↗
← N 29.873992°
E 24.296264°		 ← 264.84 m → N 29.873992°
E 24.299011°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
N 29.871611°
E 24.296264°		 ← 264.85 m →
70 125 m²		 N 29.871611°
E 24.299011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567493438720703 y=0.412982940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567493438720703 × 217)
    floor (0.567493438720703 × 131072)
    floor (74382.5)     		tx = 74382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412982940673828 × 217)
    floor (0.412982940673828 × 131072)
    floor (54130.5)     		ty = 54130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74382 / 54130 ti = "17/74382/54130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74382/54130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74382 ÷ 217
    74382 ÷ 131072     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54130 ÷ 217
    54130 ÷ 131072     		y = 0.412979125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412979125976562 × 2 - 1) × π
    0.174041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.54676827706636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54676827706636))-π/2
    2×atan(1.7276606656734)-π/2
    2×1.04609792579127-π/2
    2.09219585158255-1.57079632675     		φ = 0.52139952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52139952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.873992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74382 KachelY 54130 0.42404981 0.52139952 24.296264 29.873992
    Oben rechts KachelX + 1 74383 KachelY 54130 0.42409775 0.52139952 24.299011 29.873992
    Unten links KachelX 74382 KachelY + 1 54131 0.42404981 0.52135796 24.296264 29.871611
    Unten rechts KachelX + 1 74383 KachelY + 1 54131 0.42409775 0.52135796 24.299011 29.871611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52139952-0.52135796) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52139952-0.52135796) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.52139952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867122936334558 × 6371000     		do = 264.841664500782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.52135796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867143636379858 × 6371000     		du = 264.847986827435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52139952)-sin(0.52135796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867122936334558-0.867143636379858)×R²
    abs(0.42409775-0.42404981)×2.07000453001926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07000453001926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07000453001926e-05×40589641000000     		ar = 70125.284541825m²