Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74382 / 53947
↖ ↑ ↗
← N 30.308874°
E 24.296264°		 ← 263.68 m → N 30.308874°
E 24.299011°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
N 30.306503°
E 24.296264°		 ← 263.69 m →
69 515 m²		 N 30.306503°
E 24.299011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567493438720703 y=0.411586761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567493438720703 × 217)
    floor (0.567493438720703 × 131072)
    floor (74382.5)     		tx = 74382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411586761474609 × 217)
    floor (0.411586761474609 × 131072)
    floor (53947.5)     		ty = 53947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74382 / 53947 ti = "17/74382/53947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74382/53947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74382 ÷ 217
    74382 ÷ 131072     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53947 ÷ 217
    53947 ÷ 131072     		y = 0.411582946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411582946777344 × 2 - 1) × π
    0.176834106445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.555540729696831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.555540729696831))-π/2
    2×atan(1.74288315870242)-π/2
    2×1.04989298934591-π/2
    2.09978597869182-1.57079632675     		φ = 0.52898965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52898965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.308874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74382 KachelY 53947 0.42404981 0.52898965 24.296264 30.308874
    Oben rechts KachelX + 1 74383 KachelY 53947 0.42409775 0.52898965 24.299011 30.308874
    Unten links KachelX 74382 KachelY + 1 53948 0.42404981 0.52894827 24.296264 30.306503
    Unten rechts KachelX + 1 74383 KachelY + 1 53948 0.42409775 0.52894827 24.299011 30.306503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52898965-0.52894827) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dl = 263.631979999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52898965-0.52894827) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dr = 263.631979999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.52898965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863317395659384 × 6371000     		do = 263.679354423967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.52894827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863338277806753 × 6371000     		du = 263.68573236928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52898965)-sin(0.52894827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863317395659384-0.863338277806753)×R²
    abs(0.42409775-0.42404981)×2.08821473688392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08821473688392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08821473688392e-05×40589641000000     		ar = 69515.1510169208m²