Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74382 / 53570
↖ ↑ ↗
← N 31.198706°
E 24.296264°		 ← 261.25 m → N 31.198706°
E 24.299011°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
N 31.196357°
E 24.296264°		 ← 261.26 m →
68 260 m²		 N 31.196357°
E 24.299011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567493438720703 y=0.408710479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567493438720703 × 217)
    floor (0.567493438720703 × 131072)
    floor (74382.5)     		tx = 74382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408710479736328 × 217)
    floor (0.408710479736328 × 131072)
    floor (53570.5)     		ty = 53570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74382 / 53570 ti = "17/74382/53570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74382/53570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74382 ÷ 217
    74382 ÷ 131072     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53570 ÷ 217
    53570 ÷ 131072     		y = 0.408706665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408706665039062 × 2 - 1) × π
    0.182586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.573612940853592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573612940853592))-π/2
    2×atan(1.77466725051228)-π/2
    2×1.05765823745062-π/2
    2.11531647490124-1.57079632675     		φ = 0.54452015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54452015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.198706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74382 KachelY 53570 0.42404981 0.54452015 24.296264 31.198706
    Oben rechts KachelX + 1 74383 KachelY 53570 0.42409775 0.54452015 24.299011 31.198706
    Unten links KachelX 74382 KachelY + 1 53571 0.42404981 0.54447914 24.296264 31.196357
    Unten rechts KachelX + 1 74383 KachelY + 1 53571 0.42409775 0.54447914 24.299011 31.196357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54452015-0.54447914) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54452015-0.54447914) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.54452015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.85537595524261 × 6371000     		do = 261.25383410801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.54447914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855397198019005 × 6371000     		du = 261.26032219871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54452015)-sin(0.54447914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85537595524261-0.855397198019005)×R²
    abs(0.42409775-0.42404981)×2.12427763950362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12427763950362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12427763950362e-05×40589641000000     		ar = 68259.8673395415m²