Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74382 / 53426
↖ ↑ ↗
← N 31.536408°
E 24.296264°		 ← 260.32 m → N 31.536408°
E 24.299011°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
N 31.534067°
E 24.296264°		 ← 260.32 m →
67 766 m²		 N 31.534067°
E 24.299011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567493438720703 y=0.407611846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567493438720703 × 217)
    floor (0.567493438720703 × 131072)
    floor (74382.5)     		tx = 74382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407611846923828 × 217)
    floor (0.407611846923828 × 131072)
    floor (53426.5)     		ty = 53426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74382 / 53426 ti = "17/74382/53426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74382/53426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74382 ÷ 217
    74382 ÷ 131072     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53426 ÷ 217
    53426 ÷ 131072     		y = 0.407608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407608032226562 × 2 - 1) × π
    0.184783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58051585439888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58051585439888))-π/2
    2×atan(1.78696000420957)-π/2
    2×1.06060524144609-π/2
    2.12121048289218-1.57079632675     		φ = 0.55041416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55041416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.536408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74382 KachelY 53426 0.42404981 0.55041416 24.296264 31.536408
    Oben rechts KachelX + 1 74383 KachelY 53426 0.42409775 0.55041416 24.299011 31.536408
    Unten links KachelX 74382 KachelY + 1 53427 0.42404981 0.55037330 24.296264 31.534067
    Unten rechts KachelX + 1 74383 KachelY + 1 53427 0.42409775 0.55037330 24.299011 31.534067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55041416-0.55037330) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dl = 260.3190600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55041416-0.55037330) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dr = 260.3190600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.55041416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852307972806833 × 6371000     		do = 260.316793302256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42409775) × cos(0.55037330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8523293435206 × 6371000     		du = 260.323320468323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55041416)-sin(0.55037330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852307972806833-0.8523293435206)×R²
    abs(0.42409775-0.42404981)×2.13707137675101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13707137675101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13707137675101e-05×40589641000000     		ar = 67766.2725168986m²