Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74381 / 90252
↖ ↑ ↗
← S 55.992237°
E 24.293518°		 ← 170.79 m → S 55.992237°
E 24.296264°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
S 55.993773°
E 24.293518°		 ← 170.78 m →
29 172 m²		 S 55.993773°
E 24.296264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567485809326172 y=0.688571929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567485809326172 × 217)
    floor (0.567485809326172 × 131072)
    floor (74381.5)     		tx = 74381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688571929931641 × 217)
    floor (0.688571929931641 × 131072)
    floor (90252.5)     		ty = 90252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74381 / 90252 ti = "17/74381/90252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74381/90252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74381 ÷ 217
    74381 ÷ 131072     		x = 0.567481994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90252 ÷ 217
    90252 ÷ 131072     		y = 0.688568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567481994628906 × 2 - 1) × π
    0.134963989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42400188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.37713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18480841100931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42400188} λ = 0.42400188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18480841100931))-π/2
    2×atan(0.30580476271242)-π/2
    2×0.296773720133967-π/2
    0.593547440267933-1.57079632675     		φ = -0.97724889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42400188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.293518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97724889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.992237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74381 KachelY 90252 0.42400188 -0.97724889 24.293518 -55.992237
    Oben rechts KachelX + 1 74382 KachelY 90252 0.42404981 -0.97724889 24.296264 -55.992237
    Unten links KachelX 74381 KachelY + 1 90253 0.42400188 -0.97727570 24.293518 -55.993773
    Unten rechts KachelX + 1 74382 KachelY + 1 90253 0.42404981 -0.97727570 24.296264 -55.993773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97724889--0.97727570) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dl = 170.806509999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97724889--0.97727570) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dr = 170.806509999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42400188-0.42404981) × cos(-0.97724889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.55930522556421 × 6371000     		do = 170.790579068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42400188-0.42404981) × cos(-0.97727570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.559283000897367 × 6371000     		du = 170.783792498616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97724889)-sin(-0.97727570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55930522556421-0.559283000897367)×R²
    abs(0.42404981-0.42400188)×2.22246668434289e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22246668434289e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22246668434289e-05×40589641000000     		ar = 29171.5631579224m²