Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7438 / 4482
↖ ↑ ↗
← N 62.895218°
W 16.567383°		 ← 1 113.20 m → N 62.895218°
W 16.545410°		 →
↑
1 113.40 m
↓
↑
1 113.40 m
↓
N 62.885205°
W 16.567383°		 ← 1 113.58 m →
1 239 649 m²		 N 62.885205°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454010009765625 y=0.273590087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454010009765625 × 214)
    floor (0.454010009765625 × 16384)
    floor (7438.5)     		tx = 7438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273590087890625 × 214)
    floor (0.273590087890625 × 16384)
    floor (4482.5)     		ty = 4482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7438 / 4482 ti = "14/7438/4482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7438/4482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7438 ÷ 214
    7438 ÷ 16384     		x = 0.4539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4482 ÷ 214
    4482 ÷ 16384     		y = 0.2735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2735595703125 × 2 - 1) × π
    0.452880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42276718072327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28915538} λ = -0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42276718072327))-π/2
    2×atan(4.14858445436765)-π/2
    2×1.33426247834633-π/2
    2.66852495669266-1.57079632675     		φ = 1.09772863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09772863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.895218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7438 KachelY 4482 -0.28915538 1.09772863 -16.567383 62.895218
    Oben rechts KachelX + 1 7439 KachelY 4482 -0.28877188 1.09772863 -16.545410 62.895218
    Unten links KachelX 7438 KachelY + 1 4483 -0.28915538 1.09755387 -16.567383 62.885205
    Unten rechts KachelX + 1 7439 KachelY + 1 4483 -0.28877188 1.09755387 -16.545410 62.885205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09772863-1.09755387) × R
    0.000174759999999941 × 6371000     		dl = 1113.39595999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09772863-1.09755387) × R
    0.000174759999999941 × 6371000     		dr = 1113.39595999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28915538--0.28877188) × cos(1.09772863) × R
    0.000383500000000037 × 0.455619211268144 × 6371000     		do = 1113.20462307852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28915538--0.28877188) × cos(1.09755387) × R
    0.000383500000000037 × 0.455774771253904 × 6371000     		du = 1113.58469944719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09772863)-sin(1.09755387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455619211268144-0.455774771253904)×R²
    abs(-0.28877188--0.28915538)×0.000155559985760667×R²
    0.000383500000000037×0.000155559985760667×6371000²
    0.000383500000000037×0.000155559985760667×40589641000000     		ar = 1239649.12088969m²