Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7438 / 10611
↖ ↑ ↗
← S 46.845165°
W 16.567383°		 ← 1 671.13 m → S 46.845165°
W 16.545410°		 →
↑
1 670.86 m
↓
↑
1 670.86 m
↓
S 46.860191°
W 16.567383°		 ← 1 670.67 m →
2 791 839 m²		 S 46.860191°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454010009765625 y=0.647674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454010009765625 × 214)
    floor (0.454010009765625 × 16384)
    floor (7438.5)     		tx = 7438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647674560546875 × 214)
    floor (0.647674560546875 × 16384)
    floor (10611.5)     		ty = 10611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7438 / 10611 ti = "14/7438/10611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7438/10611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7438 ÷ 214
    7438 ÷ 16384     		x = 0.4539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10611 ÷ 214
    10611 ÷ 16384     		y = 0.64764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.927674881447327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28915538} λ = -0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927674881447327))-π/2
    2×atan(0.395472161864139)-π/2
    2×0.376596984433145-π/2
    0.75319396886629-1.57079632675     		φ = -0.81760236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81760236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.845165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7438 KachelY 10611 -0.28915538 -0.81760236 -16.567383 -46.845165
    Oben rechts KachelX + 1 7439 KachelY 10611 -0.28877188 -0.81760236 -16.545410 -46.845165
    Unten links KachelX 7438 KachelY + 1 10612 -0.28915538 -0.81786462 -16.567383 -46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 7439 KachelY + 1 10612 -0.28877188 -0.81786462 -16.545410 -46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81760236--0.81786462) × R
    0.00026226000000007 × 6371000     		dl = 1670.85846000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81760236--0.81786462) × R
    0.00026226000000007 × 6371000     		dr = 1670.85846000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28915538--0.28877188) × cos(-0.81760236) × R
    0.000383500000000037 × 0.683972269161269 × 6371000     		do = 1671.1347398381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28915538--0.28877188) × cos(-0.81786462) × R
    0.000383500000000037 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 1670.66723244794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81760236)-sin(-0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683972269161269-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.28877188--0.28915538)×0.000191344290126794×R²
    0.000383500000000037×0.000191344290126794×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191344290126794×40589641000000     		ar = 2791839.06452235m²